Theorem rhmco 14252

Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 14234	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 14233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	anim12ci 339	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4		rhmghm 14240	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5		rhmghm 14240	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6		ghmco 13914	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
10	8, 9	rhmmhm 14237	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
12	11, 8	rhmmhm 14237	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13		mhmco 13636	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
15	7, 14	jca 306	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
16	11, 9	isrhm 14236	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
17	3, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   ∘ ccom 4735  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   MndHom cmhm 13603   GrpHom cghm 13890  mulGrpcmgp 13997  Ringcrg 14073   RingHom crh 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mhm 13605  df-grp 13649  df-ghm 13891  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-rhm 14230

This theorem is referenced by: (None)