Theorem rhmval 14177

Description: The ring homomorphisms between two rings. (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rhmval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))

Proof of Theorem rhmval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrhm2 14158	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)))))
3		oveq12 6022	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		fveq2 5635	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5		fveq2 5635	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	oveqan12d 6032	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	ineq12d 3407	. . 3 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8	7	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
9		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Ring)
11		ringgrp 14004	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12		ringgrp 14004	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
13		ghmex 13832	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V)
15		inex1g 4223	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V → ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V)
17	2, 8, 9, 10, 16	ovmpod 6144	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∩ cin 3197  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015   MndHom cmhm 13530  Grpcgrp 13573   GrpHom cghm 13817  mulGrpcmgp 13923  Ringcrg 13999   RingHom crh 14154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-mhm 13532  df-grp 13576  df-ghm 13818  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-rhm 14156

This theorem is referenced by: (None)