Theorem shftfibg 10784

Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftfibg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Proof of Theorem shftfibg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 993	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		simp3 994	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		shftfvalg 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
5	4	breqd 4000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ 𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
6		vex 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
8		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9	8	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦))
10	7, 9	anbi12d 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦)))
11		breq2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
12	11	anbi2d 461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
13		eqid 2170	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
14	10, 12, 13	brabg 4254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
15	6, 14	mpan2 423	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
16	5, 15	sylan9bb 459	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
17	1, 2, 3, 16	syl21anc 1232	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
18	17	3anibar 1160	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
19	18	abbidv 2288	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
20		imasng 4976	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21	20	3ad2ant3 1015	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
22	3, 1	subcld 8230	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
23		imasng 4976	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
25	19, 21, 24	3eqtr4d 2213	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  Vcvv 2730  {csn 3583   class class class wbr 3989  {copab 4049   “ cima 4614  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   − cmin 8090   shift cshi 10778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-shft 10779

This theorem is referenced by: (None)