ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftfibg GIF version

Theorem shftfibg 10604
Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftfibg ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))

Proof of Theorem shftfibg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 982 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp1 981 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹𝑉)
3 simp3 983 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 shftfvalg 10602 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
54breqd 3940 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
6 vex 2689 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
7 eleq1 2202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
8 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
98breq1d 3939 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑦))
107, 9anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦)))
11 breq2 3933 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
1211anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
13 eqid 2139 . . . . . . . 8 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
1410, 12, 13brabg 4191 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
156, 14mpan2 421 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
165, 15sylan9bb 457 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
171, 2, 3, 16syl21anc 1215 . . . 4 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
18173anibar 1149 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
1918abbidv 2257 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
20 imasng 4904 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21203ad2ant3 1004 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
223, 1subcld 8085 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
23 imasng 4904 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2422, 23syl 14 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2519, 21, 243eqtr4d 2182 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  Vcvv 2686  {csn 3527   class class class wbr 3929  {copab 3988  cima 4542  (class class class)co 5774  cc 7630  cmin 7945   shift cshi 10598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-shft 10599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator