Theorem shftfibg 11002

Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftfibg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Proof of Theorem shftfibg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1 999	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		simp3 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		shftfvalg 11000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
5	4	breqd 4045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ 𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
6		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
8		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9	8	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦)))
11		breq2 4038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
13		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
14	10, 12, 13	brabg 4304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
15	6, 14	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
16	5, 15	sylan9bb 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
17	1, 2, 3, 16	syl21anc 1248	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
18	17	3anibar 1167	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
19	18	abbidv 2314	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
20		imasng 5035	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21	20	3ad2ant3 1022	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
22	3, 1	subcld 8354	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
23		imasng 5035	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
25	19, 21, 24	3eqtr4d 2239	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  Vcvv 2763  {csn 3623   class class class wbr 4034  {copab 4094   “ cima 4667  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   − cmin 8214   shift cshi 10996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-shft 10997

This theorem is referenced by: (None)