Theorem shftfibg 10831

Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftfibg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Proof of Theorem shftfibg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		simp3 999	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		shftfvalg 10829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
5	4	breqd 4016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ 𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
6		vex 2742	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
8		oveq1 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9	8	breq1d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦)))
11		breq2 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
13		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
14	10, 12, 13	brabg 4271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
15	6, 14	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
16	5, 15	sylan9bb 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
17	1, 2, 3, 16	syl21anc 1237	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
18	17	3anibar 1165	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
19	18	abbidv 2295	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
20		imasng 4995	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21	20	3ad2ant3 1020	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
22	3, 1	subcld 8270	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
23		imasng 4995	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
25	19, 21, 24	3eqtr4d 2220	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739  {csn 3594   class class class wbr 4005  {copab 4065   “ cima 4631  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   − cmin 8130   shift cshi 10825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-shft 10826

This theorem is referenced by: (None)