Theorem fzosump1 12134

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fzosump1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fzosump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9886	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		fzoval 10509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	5	sumeq1d 12082	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
7	6	oveq1d 6075	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
8		fsumm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		fsumm1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
10	1, 8, 9	fsumm1 12133	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
11		fzval3 10576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
12	3, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
13	12	sumeq1d 12082	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 1))𝐴)
14	7, 10, 13	3eqtr2rd 2274	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  ℂcc 8143  1c1 8146   + caddc 8148   − cmin 8463  ℤcz 9599  ℤ_≥cuz 9876  ...cfz 10366  ..^cfzo 10503  Σcsu 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-ihash 11169  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070

This theorem is referenced by: (None)