Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumrev2 GIF version

Theorem fisumrev2 11222
 Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fisumrev2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fisumrev2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev2.1 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2 (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fisumrev2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fisumrev2
StepHypRef Expression
1 fisumrev2.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 fisumrev2.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
6 eluz2 9339 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1165 . . 3 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
81adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
93adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9zaddcld 9184 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11 fsumrev2.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 fsumrev2.2 . . . . 5 (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
1410, 8, 9, 12, 13fsumrev 11219 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
158zcnd 9181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
169zcnd 9181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1715, 16pncand 8081 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1815, 16pncan2d 8082 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
1917, 18oveq12d 5792 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
2019sumeq1d 11142 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
2114, 20eqtrd 2172 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
227, 21syldan 280 . 2 ((𝜑𝑀𝑁) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
23 fzn 9829 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
241, 3, 23syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
2524biimpa 294 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
26 sum0 11164 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
27 sum0 11164 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2826, 27eqtr4i 2163 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
29 sumeq1 11131 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
30 sumeq1 11131 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3128, 29, 303eqtr4a 2198 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
3225, 31syl 14 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
33 zlelttric 9106 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁 < 𝑀))
341, 3, 33syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑁 < 𝑀))
3522, 32, 34mpjaodan 787 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627   + caddc 7630   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11223  efaddlem  11387
 Copyright terms: Public domain W3C validator