Theorem fisumrev2 12191

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisumrev2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fisumrev2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2	⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fisumrev2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fisumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisumrev2.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fisumrev2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		eluz2 9906	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	zaddcld 9751	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11		fsumrev2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fsumrev2.2	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
14	10, 8, 9, 12, 13	fsumrev 12188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
15	8	zcnd 9748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	9	zcnd 9748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	15, 16	pncand 8628	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	15, 16	pncan2d 8629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
19	17, 18	oveq12d 6093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
20	19	sumeq1d 12110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
21	14, 20	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
22	7, 21	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
23		fzn 10425	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
24	1, 3, 23	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
25	24	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
26		sum0 12133	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
27		sum0 12133	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
28	26, 27	eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
29		sumeq1 12099	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
30		sumeq1 12099	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
31	28, 29, 30	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
32	25, 31	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
33		zlelttric 9668	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
34	1, 3, 33	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
35	22, 32, 34	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  fisum0diag2  12192  efaddlem  12419