Theorem fisumrev2 11832

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisumrev2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fisumrev2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2	⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fisumrev2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fisumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisumrev2.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fisumrev2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		eluz2 9674	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	zaddcld 9519	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11		fsumrev2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fsumrev2.2	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
14	10, 8, 9, 12, 13	fsumrev 11829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
15	8	zcnd 9516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	9	zcnd 9516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	15, 16	pncand 8404	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	15, 16	pncan2d 8405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
19	17, 18	oveq12d 5975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
20	19	sumeq1d 11752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
21	14, 20	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
22	7, 21	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
23		fzn 10184	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
24	1, 3, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
25	24	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
26		sum0 11774	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
27		sum0 11774	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
28	26, 27	eqtr4i 2230	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
29		sumeq1 11741	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
30		sumeq1 11741	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
31	28, 29, 30	3eqtr4a 2265	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
32	25, 31	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
33		zlelttric 9437	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
34	1, 3, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
35	22, 32, 34	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3464   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  0cc0 7945   + caddc 7948   < clt 8127   ≤ cle 8128   − cmin 8263  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  ...cfz 10150  Σcsu 11739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-ihash 10943  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-clim 11665  df-sumdc 11740

This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11833  efaddlem  12060