ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumsplit GIF version

Theorem isumsplit 11483
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsplit.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumsplit.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsplit.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2270 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 9522 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 isumsplit.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 isumsplit.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
9 eluzelz 9526 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 9syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 uzss 9537 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
123, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
1312, 8, 13sstr4g 3198 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑍)
1413sselda 3155 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
1514, 6syldan 282 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1614, 7syldan 282 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
191, 2, 18iserex 11331 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 11414 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
22 peano2zm 9280 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2310, 22syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
245, 23fzfigd 10417 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
25 elfzuz 10007 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2625, 1eleqtrrdi 2271 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
2726, 7sylan2 286 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2824, 27fsumcl 11392 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
2914, 18syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
308, 10, 29serf 10460 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
3130ffvelcdmda 5647 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
325zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3332ltm1d 8878 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
34 peano2zm 9280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
36 fzn 10028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
375, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3833, 37mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3938sumeq1d 11358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
4039adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
41 sum0 11380 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
4240, 41eqtrdi 2226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
4342oveq1d 5884 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
4413sselda 3155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑗𝑍)
451, 5, 18serf 10460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 5647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4744, 46syldan 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4847addid2d 8097 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
4943, 48eqtr2d 2211 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
50 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
5150oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
5251sumeq1d 11358 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
53 seqeq1 10434 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5453fveq1d 5513 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5552, 54oveq12d 5887 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
5655eqeq2d 2189 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
5749, 56syl5ibrcom 157 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
58 addcl 7927 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
5958adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
60 addass 7932 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
6160adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
62 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗𝑊)
63 simpll 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
6410zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
65 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
66 npcan 8156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6764, 65, 66sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6867eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6963, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
7069fveq2d 5515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (ℤ𝑁) = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
718, 70eqtrid 2222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
7262, 71eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
735adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
74 eluzp1m1 9540 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
7573, 74sylan 283 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
761eleq2i 2244 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
7776, 6sylan2br 288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7863, 77sylan 283 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7976, 7sylan2br 288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8063, 79sylan 283 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8178, 80eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
8259, 61, 72, 75, 81seq3split 10465 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
8378, 75, 80fsum3ser 11389 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
8469seqeq1d 10437 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
8584fveq1d 5513 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
8683, 85oveq12d 5887 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
8782, 86eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
8887ex 115 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
89 uzp1 9550 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
903, 89syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
9190adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
9257, 88, 91mpjaod 718 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
938, 10, 21, 28, 17, 31, 92climaddc2 11322 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
941, 5, 6, 7, 93isumclim 11413 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  c0 3422   class class class wbr 4000  dom cdm 4623  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cmin 8118  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cli 11270  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  isum1p  11484  geolim2  11504  mertenslem2  11528  mertensabs  11529  effsumlt  11684  eirraplem  11768  trilpolemeq1  14444  trilpolemlt1  14445  nconstwlpolemgt0  14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator