Theorem isumsplit 12205

Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsplit.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
isumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsplit.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	2, 1	eleqtrdi 2327	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 9879	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		isumsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7		isumsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		isumsplit.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
9		eluzelz 9884	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		uzss 9896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	3, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 8, 1	3sstr4g 3285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝑍)
14	13	sselda 3242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14, 6	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	14, 7	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		isumsplit.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	6, 7	eqeltrd 2311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	1, 2, 18	iserex 12052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
20	17, 19	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
21	8, 10, 15, 16, 20	isumclim2 12136	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
22		peano2zm 9635	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
23	10, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
24	5, 23	fzfigd 10820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
25		elfzuz 10377	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	25, 1	eleqtrrdi 2328	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	24, 27	fsumcl 12114	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
29	14, 18	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	8, 10, 29	serf 10872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
31	30	ffvelcdmda 5817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
32	5	zred 9721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	ltm1d 9226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
34		peano2zm 9635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
35	5, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
36		fzn 10399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
37	5, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
38	33, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
39	38	sumeq1d 12079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
41		sum0 12102	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
42	40, 41	eqtrdi 2283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
43	42	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
44	13	sselda 3242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑗 ∈ 𝑍)
45	1, 5, 18	serf 10872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
46	45	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
47	44, 46	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
48	47	addlidd 8440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
49	43, 48	eqtr2d 2268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
50		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
51	50	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
52	51	sumeq1d 12079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
53		seqeq1 10839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
54	53	fveq1d 5677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
55	52, 54	oveq12d 6076	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
56	55	eqeq2d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
57	49, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
58		addcl 8268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
59	58	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
60		addass 8273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
62		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑊)
63		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
64	10	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
65		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
66		npcan 8499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
67	64, 65, 66	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
68	67	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
69	63, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
70	69	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
71	8, 70	eqtrid 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
72	62, 71	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
73	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
74		eluzp1m1 9899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	73, 74	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76	1	eleq2i 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
77	76, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
78	63, 77	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
79	76, 7	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
80	63, 79	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
81	78, 80	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
82	59, 61, 72, 75, 81	seq3split 10877	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
83	78, 75, 80	fsum3ser 12111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
84	69	seqeq1d 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
85	84	fveq1d 5677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
86	83, 85	oveq12d 6076	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
87	82, 86	eqtr4d 2270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
88	87	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
89		uzp1 9909	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
90	3, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
91	90	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
92	57, 88, 91	mpjaod 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
93	8, 10, 21, 28, 17, 31, 92	climaddc2 12043	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))
94	1, 5, 6, 7, 93	isumclim 12135	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   − cmin 8461  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874  ...cfz 10364  seqcseq 10836   ⇝ cli 11991  Σcsu 12066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067

This theorem is referenced by:  isum1p  12206  geolim2  12226  mertenslem2  12250  mertensabs  12251  effsumlt  12406  eirraplem  12491  trilpolemeq1  16963  trilpolemlt1  16964  nconstwlpolemgt0  16989