ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumsplit GIF version

Theorem isumsplit 11498
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumsplit.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
isumsplit.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumsplit.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumsplit.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumsplit.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2270 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 9532 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 isumsplit.4 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 isumsplit.2 . . 3 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 eluzelz 9536 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
103, 9syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
11 uzss 9547 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
123, 11syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1312, 8, 13sstr4g 3198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
1413sselda 3155 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1514, 6syldan 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1614, 7syldan 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191, 2, 18iserex 11346 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 147 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 11429 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴)
22 peano2zm 9290 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
2310, 22syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
245, 23fzfigd 10430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
25 elfzuz 10020 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2625, 1eleqtrrdi 2271 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2726, 7sylan2 286 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2824, 27fsumcl 11407 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 ∈ β„‚)
2914, 18syldan 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
308, 10, 29serf 10473 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹):π‘ŠβŸΆβ„‚)
3130ffvelcdmda 5651 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
325zred 9374 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3332ltm1d 8888 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
34 peano2zm 9290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
36 fzn 10041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
375, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
3833, 37mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3938sumeq1d 11373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
4039adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
41 sum0 11395 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0
4240, 41eqtrdi 2226 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = 0)
4342oveq1d 5889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
4413sselda 3155 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
451, 5, 18serf 10473 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
4645ffvelcdmda 5651 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4744, 46syldan 282 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4847addid2d 8106 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4943, 48eqtr2d 2211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
50 oveq1 5881 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
5150oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)))
5251sumeq1d 11373 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴)
53 seqeq1 10447 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5453fveq1d 5517 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5552, 54oveq12d 5892 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
5655eqeq2d 2189 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
5749, 56syl5ibrcom 157 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
58 addcl 7935 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
5958adantl 277 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
60 addass 7940 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
6160adantl 277 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
62 simplr 528 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ π‘Š)
63 simpll 527 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ πœ‘)
6410zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
65 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
66 npcan 8165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6764, 65, 66sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6867eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6963, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
7069fveq2d 5519 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
718, 70eqtrid 2222 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘Š = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
7262, 71eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
735adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
74 eluzp1m1 9550 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7573, 74sylan 283 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
761eleq2i 2244 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7776, 6sylan2br 288 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7863, 77sylan 283 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7976, 7sylan2br 288 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8063, 79sylan 283 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8178, 80eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8259, 61, 72, 75, 81seq3split 10478 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8378, 75, 80fsum3ser 11404 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
8469seqeq1d 10450 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹))
8584fveq1d 5517 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—))
8683, 85oveq12d 5892 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8782, 86eqtr4d 2213 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8887ex 115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
89 uzp1 9560 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
903, 89syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
9190adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
9257, 88, 91mpjaod 718 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
938, 10, 21, 28, 17, 31, 92climaddc2 11337 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
941, 5, 6, 7, 93isumclim 11428 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129  βˆ…c0 3422   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991   βˆ’ cmin 8127  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444   ⇝ cli 11285  Ξ£csu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  isum1p  11499  geolim2  11519  mertenslem2  11543  mertensabs  11544  effsumlt  11699  eirraplem  11783  trilpolemeq1  14758  trilpolemlt1  14759  nconstwlpolemgt0  14781
  Copyright terms: Public domain W3C validator