Theorem isumsplit 12241

Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsplit.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
isumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsplit.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	2, 1	eleqtrdi 2331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 9909	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		isumsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7		isumsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		isumsplit.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
9		eluzelz 9914	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		uzss 9926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	3, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 8, 1	3sstr4g 3291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝑍)
14	13	sselda 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14, 6	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	14, 7	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		isumsplit.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	6, 7	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	1, 2, 18	iserex 12088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
20	17, 19	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
21	8, 10, 15, 16, 20	isumclim2 12172	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
22		peano2zm 9665	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
23	10, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
24	5, 23	fzfigd 10851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
25		elfzuz 10407	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	25, 1	eleqtrrdi 2332	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	24, 27	fsumcl 12150	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
29	14, 18	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	8, 10, 29	serf 10903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
31	30	ffvelcdmda 5837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
32	5	zred 9751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	ltm1d 9256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
34		peano2zm 9665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
35	5, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
36		fzn 10429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
37	5, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
38	33, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
39	38	sumeq1d 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
41		sum0 12138	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
42	40, 41	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
43	42	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
44	13	sselda 3248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑗 ∈ 𝑍)
45	1, 5, 18	serf 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
46	45	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
47	44, 46	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
48	47	addlidd 8470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
49	43, 48	eqtr2d 2272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
50		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
51	50	oveq2d 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
52	51	sumeq1d 12115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
53		seqeq1 10870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
54	53	fveq1d 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
55	52, 54	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
56	55	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
57	49, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
58		addcl 8298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
59	58	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
60		addass 8303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
62		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑊)
63		simpll 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
64	10	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
65		ax-1cn 8266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
66		npcan 8529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
67	64, 65, 66	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
68	67	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
69	63, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
70	69	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
71	8, 70	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
72	62, 71	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
73	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
74		eluzp1m1 9929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	73, 74	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76	1	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
77	76, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
78	63, 77	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
79	76, 7	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
80	63, 79	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
81	78, 80	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
82	59, 61, 72, 75, 81	seq3split 10908	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
83	78, 75, 80	fsum3ser 12147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
84	69	seqeq1d 10873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
85	84	fveq1d 5695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
86	83, 85	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
87	82, 86	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
88	87	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
89		uzp1 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
90	3, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
91	90	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
92	57, 88, 91	mpjaod 730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
93	8, 10, 21, 28, 17, 31, 92	climaddc2 12079	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))
94	1, 5, 6, 7, 93	isumclim 12171	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ...cfz 10394  seqcseq 10867   ⇝ cli 12027  Σcsu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  isum1p  12242  geolim2  12262  mertenslem2  12286  mertensabs  12287  effsumlt  12442  eirraplem  12527  log2tlbndlog2  16065  trilpolemeq1  17063  trilpolemlt1  17064  nconstwlpolemgt0  17088