Theorem uzssz 9951

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9940	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	ssriv 3252	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  infssuzcldc  10678  zsupssdc  10683  seqf1oglem1  10969  cau3  11896  climz  12074  serclim0  12087  climaddc1  12111  climmulc2  12113  climsubc1  12114  climsubc2  12115  climle  12116  climlec2  12123  summodclem2a  12164  summodclem2  12165  zsumdc  12167  fsum3cvg3  12179  iserabs  12258  isumshft  12273  explecnv  12288  clim2prod  12322  prodfclim1  12327  ntrivcvgap  12331  prodmodclem2a  12359  prodmodclem2  12360  zproddc  12362  4sqlem11  13200  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemsima  13308  exmidunben  13366  lmbrf  15365  lmres  15398  climcncf  15734  2sqlem6  16337