Theorem uzssz 9874

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9863	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	ssriv 3242	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:   ⊆ wss 3211  ‘cfv 5352  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  infssuzcldc  10595  zsupssdc  10598  seqf1oglem1  10881  cau3  11800  climz  11977  serclim0  11990  climaddc1  12014  climmulc2  12016  climsubc1  12017  climsubc2  12018  climle  12019  climlec2  12026  summodclem2a  12067  summodclem2  12068  zsumdc  12070  fsum3cvg3  12082  iserabs  12161  isumshft  12176  explecnv  12191  clim2prod  12225  prodfclim1  12230  ntrivcvgap  12234  prodmodclem2a  12262  prodmodclem2  12263  zproddc  12265  4sqlem11  13099  exmidunben  13177  lmbrf  15080  lmres  15113  climcncf  15449  2sqlem6  15993