Theorem uzssz 9957

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9946	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	ssriv 3252	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  infssuzcldc  10684  zsupssdc  10689  seqf1oglem1  10976  cau3  11903  climz  12082  serclim0  12095  climaddc1  12119  climmulc2  12121  climsubc1  12122  climsubc2  12123  climle  12124  climlec2  12131  summodclem2a  12172  summodclem2  12173  zsumdc  12175  fsum3cvg3  12187  iserabs  12266  isumshft  12281  explecnv  12296  clim2prod  12330  prodfclim1  12335  ntrivcvgap  12339  prodmodclem2a  12367  prodmodclem2  12368  zproddc  12370  4sqlem11  13208  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemsima  13316  exmidunben  13374  lmbrf  15458  lmres  15491  climcncf  15827  2sqlem6  16461