Theorem climle 12083

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climle.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
climle.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climle.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
4		zex 9636	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
5		uzssz 9925	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	ssexi 4269	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
7	1, 6	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ∈ V)
10		climadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		climle.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
13		climle.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	11, 13	resubcld 8702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘𝑘))
18		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
20		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
21	19, 20	fvmptg 5778	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
22	15, 16, 21	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
23	1, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22	climsub 12077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) ⇝ (𝐵 − 𝐴))
24	22, 16	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
25		climle.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
26	11, 13	subge0d 8857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
27	25, 26	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
28	27, 22	breqtrrd 4156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐺‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))‘𝑘))
29	1, 2, 23, 24, 28	climge0 12074	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
30	1, 2, 3, 11	climrecl 12073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
31	1, 2, 10, 13	climrecl 12073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	subge0d 8857	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	29, 32	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173   ≤ cle 8355   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028

This theorem is referenced by:  climlec2  12090  iserle  12091  iserabs  12225  cvgcmpub  12226