Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climle GIF version

Theorem climle 11134
 Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climle.5 (𝜑𝐺𝐵)
climle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climle.5 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
4 zex 9086 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
5 uzssz 9368 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5ssexi 4073 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
71, 6eqeltri 2213 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
87mptex 5653 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V)
10 climadd.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
11 climle.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1211recnd 7817 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
13 climle.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 7817 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
15 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1611, 13resubcld 8166 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
17 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
18 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1917, 18oveq12d 5799 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
20 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))
2119, 20fvmptg 5504 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2215, 16, 21syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
231, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22climsub 11128 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ⇝ (𝐵𝐴))
2422, 16eqeltrd 2217 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
25 climle.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2611, 13subge0d 8320 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
2725, 26mpbird 166 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2827, 22breqtrrd 3963 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘))
291, 2, 23, 24, 28climge0 11125 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
301, 2, 3, 11climrecl 11124 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
311, 2, 10, 13climrecl 11124 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31subge0d 8320 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3329, 32mpbid 146 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   class class class wbr 3936   ↦ cmpt 3996  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℝcr 7642  0cc0 7643   ≤ cle 7824   − cmin 7956  ℤcz 9077  ℤ≥cuz 9349   ⇝ cli 11078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079 This theorem is referenced by:  climlec2  11141  iserle  11142  iserabs  11275  cvgcmpub  11276
 Copyright terms: Public domain W3C validator