Theorem wlkex 16243

Description: The class of walks on a graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem wlkex

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wksfval 16240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
4		iedgex 15937	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	4	dmexd 5004	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 11171	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
8		0zd 9534	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 0 ∈ ℤ)
9		lencl 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9643	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin)
12		vtxex 15936	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
13		mapex 6866	. . . . 5 ⊢ (((0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
15	7, 14	opabex3d 6292	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))} ∈ V)
16		3simpa 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
18	17	ssopab2dv 4379	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))})
19	15, 18	ssexd 4234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 986   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {csn 3673  {cpr 3674  {copab 4154  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078  ...cfz 10286  ..^cfzo 10420  ♯chash 11081  Word cword 11160  Vtxcvtx 15930  iEdgciedg 15931  Walkscwlks 16235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15923  df-vtx 15932  df-iedg 15933  df-wlks 16236

This theorem is referenced by:  trlsfvalg  16301  trlsex  16305