Theorem wlkex 16783

Description: The class of walks on a graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem wlkex

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wksfval 16780	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
4		iedgex 16477	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	4	dmexd 5050	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 11338	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
8		0zd 9668	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 0 ∈ ℤ)
9		lencl 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9778	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10890	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin)
12		vtxex 16476	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
13		mapex 6932	. . . . 5 ⊢ (((0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
15	7, 14	opabex3d 6354	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))} ∈ V)
16		3simpa 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
18	17	ssopab2dv 4423	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))})
19	15, 18	ssexd 4275	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 990   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {csn 3709  {cpr 3710  {copab 4192  dom cdm 4776  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7027  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189  ...cfz 10429  ..^cfzo 10567  ♯chash 11237  Word cword 11327  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  Walkscwlks 16775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-wlks 16776

This theorem is used by:  trlsfvalg  16841  trlsex  16845