Theorem wlkex 16046

Description: The class of walks on a graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem wlkex

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wksfval 16043	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
4		iedgex 15828	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	4	dmexd 4990	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 11090	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
8		0zd 9466	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 0 ∈ ℤ)
9		lencl 11083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9575	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10661	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin)
12		vtxex 15827	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
13		mapex 6809	. . . . 5 ⊢ (((0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
15	7, 14	opabex3d 6272	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))} ∈ V)
16		3simpa 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
18	17	ssopab2dv 4367	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))})
19	15, 18	ssexd 4224	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 983   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {csn 3666  {cpr 3667  {copab 4144  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010  ...cfz 10212  ..^cfzo 10346  ♯chash 11005  Word cword 11079  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  Walkscwlks 16038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-ihash 11006  df-word 11080  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-wlks 16039

This theorem is referenced by:  trlsfvalg  16102