Theorem wlkex 16549

Description: The class of walks on a graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem wlkex

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wksfval 16546	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
4		iedgex 16243	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	4	dmexd 5046	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 11298	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
8		0zd 9639	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 0 ∈ ℤ)
9		lencl 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9749	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10851	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin)
12		vtxex 16242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
13		mapex 6922	. . . . 5 ⊢ (((0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
15	7, 14	opabex3d 6344	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))} ∈ V)
16		3simpa 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
18	17	ssopab2dv 4419	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))})
19	15, 18	ssexd 4271	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 990   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {csn 3708  {cpr 3709  {copab 4189  dom cdm 4772  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176  ...cfz 10394  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Word cword 11287  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  Walkscwlks 16541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-wlks 16542

This theorem is referenced by:  trlsfvalg  16607  trlsex  16611