Theorem wlkex 16369

Description: The class of walks on a graph is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wlkex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem wlkex

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wksfval 16366	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))})
4		iedgex 16063	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	4	dmexd 5025	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 11243	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
8		0zd 9594	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 0 ∈ ℤ)
9		lencl 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9704	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝑓) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10800	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin)
12		vtxex 16062	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
13		mapex 6890	. . . . 5 ⊢ (((0...(♯‘𝑓)) ∈ Fin ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)} ∈ V)
15	7, 14	opabex3d 6316	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))} ∈ V)
16		3simpa 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)))) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
18	17	ssopab2dv 4399	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))})
19	15, 18	ssexd 4252	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓‘𝑘))))} ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 986   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  {csn 3691  {cpr 3692  {copab 4172  dom cdm 4751  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135  ...cfz 10348  ..^cfzo 10483  ♯chash 11146  Word cword 11232  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  Walkscwlks 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-ihash 11147  df-word 11233  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-wlks 16362

This theorem is referenced by:  trlsfvalg  16427  trlsex  16431