Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domalom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domalom 37386
Description: A class which dominates every natural number is not finite. (Contributed by ML, 14-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
domalom (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem domalom
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 3281 . . . 4 𝑛𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴
2 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦𝐴𝑛𝐴))
32imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑛 → ((∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑦𝐴) ↔ (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑛𝐴)))
4 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴))
5 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
6 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑦 = suc 𝑧 → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑧𝐴))
7 1n0 8524 . . . . . . . . 9 1o ≠ ∅
8 1onn 8676 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
9 0sdomg 9142 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ ω → (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
117, 10mpbir 231 . . . . . . . 8 ∅ ≺ 1o
12 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1o → (𝑛𝐴 ↔ 1o𝐴))
1312rspccv 3618 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → (1o ∈ ω → 1o𝐴))
148, 13mpi 20 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → 1o𝐴)
15 sdomdomtr 9148 . . . . . . . 8 ((∅ ≺ 1o ∧ 1o𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
1611, 14, 15sylancr 587 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
17 peano2 7912 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
18 php4 9247 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ≺ suc suc 𝑧)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ≺ suc suc 𝑧)
20 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = suc suc 𝑧 → (𝑛𝐴 ↔ suc suc 𝑧𝐴))
2120rspccv 3618 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → (suc suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧𝐴))
22 peano2 7912 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
2421, 23impel 505 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑧 ∈ ω) → suc suc 𝑧𝐴)
25 sdomdomtr 9148 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑧 ≺ suc suc 𝑧 ∧ suc suc 𝑧𝐴) → suc 𝑧𝐴)
2619, 24, 25syl2an2 686 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑧 ∈ ω) → suc 𝑧𝐴)
2726a1d 25 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝐴 → suc 𝑧𝐴))
2827expcom 413 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → (𝑧𝐴 → suc 𝑧𝐴)))
294, 5, 6, 16, 28finds2 7920 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑦𝐴))
303, 29vtoclga 3576 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴𝑛𝐴))
3130com12 32 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → (𝑛 ∈ ω → 𝑛𝐴))
321, 31ralrimi 3254 . . 3 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴)
33 sdomnen 9019 . . . . 5 (𝑛𝐴 → ¬ 𝑛𝐴)
34 ensym 9041 . . . . 5 (𝐴𝑛𝑛𝐴)
3533, 34nsyl 140 . . . 4 (𝑛𝐴 → ¬ 𝐴𝑛)
3635ralimi 3080 . . 3 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ¬ 𝐴𝑛)
3732, 36syl 17 . 2 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ∀𝑛 ∈ ω ¬ 𝐴𝑛)
38 isfi 9014 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3938notbii 320 . . 3 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
40 ralnex 3069 . . 3 (∀𝑛 ∈ ω ¬ 𝐴𝑛 ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4139, 40bitr4i 278 . 2 𝐴 ∈ Fin ↔ ∀𝑛 ∈ ω ¬ 𝐴𝑛)
4237, 41sylibr 234 1 (∀𝑛 ∈ ω 𝑛𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  c0 4338   class class class wbr 5147  suc csuc 6387  ωcom 7886  1oc1o 8497  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  isinf2  37387
  Copyright terms: Public domain W3C validator