Theorem nnfoctb 42117

Description: There exists a mapping from ℕ onto any (nonempty) countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnfoctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem nnfoctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
2		reldom 8554	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → Rel ≼ )
4		brrelex1 5570	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 8689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
9	1, 8	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
10		nnenom 13432	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
11	10	ensymi 8598	. . . . 5 ⊢ ω ≈ ℕ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
13		domentr 8607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
14	12, 13	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ℕ)
15	14	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
16		fodomr 8711	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
17	9, 15, 16	syl2anc 587	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∃wex 1786   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  Vcvv 3397  ∅c0 4209   class class class wbr 5027  Rel wrel 5524  –onto→wfo 6331  ωcom 7593   ≈ cen 8545   ≼ cdom 8546   ≺ csdm 8547  ℕcn 11709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318

This theorem is referenced by:  ssnnf1octb  42255  issalnnd  43410  nnfoctbdj  43520