Theorem fodomfib 9223

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10427 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Replacement nor the Axiom of Power Sets nor the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 23-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11	10	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12		vex 3442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	rnex 7849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
14	5, 13	eqeltrrdi 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	11, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomfi 9206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
22	21	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
24	20, 23	jcad 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
27		0fi 8974	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
28		sdomdomtrfi 9120	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29	27, 28	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
30		0sdomg 9029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
32		fodomfir 9222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
33	32	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
34	31, 33	jcad 512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)))
35	26, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  ∅c0 4284   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ran crn 5622  –onto→wfo 6487   ≼ cdom 8876   ≺ csdm 8877  Fincfn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7806  df-1o 8394  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882

This theorem is referenced by: (None)