Theorem fodomfib 9287

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10509 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Replacement nor the Axiom of Power Sets nor the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5336. (Revised by BTernaryTau, 23-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11	10	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12		vex 3457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	rnex 7906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
14	5, 13	eqeltrrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15	14	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	11, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomfi 9271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
22	21	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
24	20, 23	jcad 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	exlimdv 1961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
26	25	expimpd 458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
27		0fi 9038	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
28		sdomdomtrfi 9184	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29	27, 28	mp3an1 1475	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
30		0sdomg 9093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
32		fodomfir 9286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
33	32	3expib 1138	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
34	31, 33	jcad 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)))
35	26, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  ran crn 5662  –onto→wfo 6534   ≼ cdom 8940   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7862  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946

This theorem is referenced by: (None)