Theorem fodomfib 9330

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10525 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11	10	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12		vex 3477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	rnex 7907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
14	5, 13	eqeltrrdi 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	11, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomfi 9329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
22	21	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
24	20, 23	jcad 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
26	25	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
27		sdomdomtr 9114	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
28		0sdomg 9108	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
29	27, 28	imbitrid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
30		fodomr 9132	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
31	29, 30	jca2 513	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)))
32	26, 31	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  –onto→wfo 6541   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947

This theorem is referenced by: (None)