Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfib 8845
 Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10000 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomfib (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib
StepHypRef Expression
1 fof 6582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
21fdmd 6514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
32eqeq1d 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4 dm0rn0 5772 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5 forn 6585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
65eqeq1d 2761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
74, 6syl5bb 286 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
83, 7bitr3d 284 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
98necon3bid 2996 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
109biimpac 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
1110adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12 vex 3414 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1312rnex 7629 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
145, 13eqeltrrdi 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
1514adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16 0sdomg 8682 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1911, 18mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2019ex 416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21 fodomfi 8844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2221ex 416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2420, 23jcad 516 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2524exlimdv 1935 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625expimpd 457 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
27 sdomdomtr 8686 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
28 0sdomg 8682 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2927, 28syl5ib 247 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
30 fodomr 8704 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3129, 30jca2 517 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)))
3226, 31impbid 215 1 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ∅c0 4228   class class class wbr 5037  dom cdm 5529  ran crn 5530  –onto→wfo 6339   ≼ cdom 8539   ≺ csdm 8540  Fincfn 8541 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-om 7587  df-1o 8119  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator