Theorem fodomfib 9304

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10586 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Replacement nor the Axiom of Power Sets nor the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5327. (Revised by BTernaryTau, 23-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11	10	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12		vex 3455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	rnex 7911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
14	5, 13	eqeltrrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15	14	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	11, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomfi 9288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
22	21	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
24	20, 23	jcad 522	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
26	25	expimpd 459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
27		0fi 9054	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
28		sdomdomtrfi 9200	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29	27, 28	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
30		0sdomg 9109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
32		fodomfir 9303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
33	32	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
34	31, 33	jcad 522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)))
35	26, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652  –onto→wfo 6529   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-1o 8460  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961

This theorem is used by: (None)