Theorem fodomfib 9348

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 10632 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Replacement nor the Axiom of Power Sets nor the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5331. (Revised by BTernaryTau, 23-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11	10	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12		vex 3458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	rnex 7946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
14	5, 13	eqeltrrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15	14	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	11, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomfi 9332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
22	21	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
24	20, 23	jcad 522	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	exlimdv 1968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
26	25	expimpd 459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
27		0fi 9098	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
28		sdomdomtrfi 9244	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29	27, 28	mp3an1 1478	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
30		0sdomg 9153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
32		fodomfir 9347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵)
33	32	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵))
34	31, 33	jcad 522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵)))
35	26, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶ontowfo 6556   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000  Fincfn 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005

This theorem is used by: (None)