Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 44839
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenunicl.y (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
caragenunicl.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4881 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ βˆ…)
2 uni0 4901 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
31, 2eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
43adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
75, 6caragen0 44821 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
87adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
10 simpl 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ πœ‘)
11 neqne 2952 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1211adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
15 reldom 8896 . . . . . . . . . 10 Rel β‰Ό
16 brrelex1 5690 . . . . . . . . . 10 ((Rel β‰Ό ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 9055 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2213, 21mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝑋)
23 nnenom 13892 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
2423ensymi 8951 . . . . . . . 8 Ο‰ β‰ˆ β„•
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰ˆ β„•)
26 domentr 8960 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2714, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2827adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
29 fodomr 9079 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31 founiiun 43470 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
3231adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
335adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 1 ∈ β„€)
35 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
36 fof 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
3938adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
4037, 39fssd 6691 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘†)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 44838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4342ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4443adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4544exlimdv 1937 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
489, 47pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110  Rel wrel 5643  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888   β‰Ί csdm 8889  1c1 11059  β„•cn 12160  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragensal  44840
  Copyright terms: Public domain W3C validator