Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 46480
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y (𝜑𝑋𝑆)
caragenunicl.ctb (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (𝜑 𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4923 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
2 uni0 4940 . . . . 5 ∅ = ∅
31, 2eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
43adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
75, 6caragen0 46462 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
10 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11 neqne 2946 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≼ ω)
15 reldom 8990 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
16 brrelex1 5742 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 9143 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2213, 21mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23 nnenom 14018 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
2423ensymi 9043 . . . . . . . 8 ω ≈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26 domentr 9052 . . . . . . 7 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
2714, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29 fodomr 9167 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
31 founiiun 45122 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
335adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 12646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35 nnuz 12919 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
36 fof 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝑋𝑓:ℕ⟶𝑋)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4037, 39fssd 6754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 46479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4342ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4544exlimdv 1931 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
489, 47pm2.61dan 813 1 (𝜑 𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  Rel wrel 5694  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563  ωcom 7887  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  1c1 11154  cn 12264  OutMeascome 46445  CaraGenccaragen 46447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-caragen 46448
This theorem is referenced by:  caragensal  46481
  Copyright terms: Public domain W3C validator