Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 45971
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenunicl.y (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
caragenunicl.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4915 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ βˆ…)
2 uni0 4934 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
31, 2eqtrdi 2781 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
43adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
75, 6caragen0 45953 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
10 simpl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ πœ‘)
11 neqne 2938 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1211adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
15 reldom 8963 . . . . . . . . . 10 Rel β‰Ό
16 brrelex1 5726 . . . . . . . . . 10 ((Rel β‰Ό ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 9122 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2213, 21mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝑋)
23 nnenom 13972 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
2423ensymi 9018 . . . . . . . 8 Ο‰ β‰ˆ β„•
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰ˆ β„•)
26 domentr 9027 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2714, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2827adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
29 fodomr 9146 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31 founiiun 44612 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
3231adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
335adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 12618 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 1 ∈ β„€)
35 nnuz 12890 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
36 fof 6804 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
3736adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
3938adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
4037, 39fssd 6734 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘†)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 45970 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4342ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4443adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4544exlimdv 1928 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
489, 47pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  βˆͺ cuni 4904  βˆͺ ciun 4992   class class class wbr 5144  Rel wrel 5678  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7865   β‰ˆ cen 8954   β‰Ό cdom 8955   β‰Ί csdm 8956  1c1 11134  β„•cn 12237  OutMeascome 45936  CaraGenccaragen 45938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xadd 13120  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-sumge0 45810  df-ome 45937  df-caragen 45939
This theorem is referenced by:  caragensal  45972
  Copyright terms: Public domain W3C validator