Theorem caragenunicl 47339

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
caragenunicl.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4881	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∪ ∅)
2		uni0 4899	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∅)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 = ∅)
5		caragenunicl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		caragenunicl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
7	5, 6	caragen0 47321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
9	4, 8	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
10		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11		neqne 2965	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
15		reldom 8961	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
16		brrelex1 5712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
17	15, 16	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20		0sdomg 9107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	13, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23		nnenom 14046	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
24	23	ensymi 9013	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26		domentr 9022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
27	14, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29		fodomr 9129	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
30	22, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31		founiiun 45998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
32	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
33	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34		1zzd 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35		nnuz 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
36		fof 6793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	fssd 6724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 47338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	32, 41	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
43	42	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
45	44	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
46	30, 45	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
47	10, 12, 46	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
48	9, 47	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107  Rel wrel 5664  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  ωcom 7865   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  1c1 11128  ℕcn 12260  OutMeascome 47304  CaraGenccaragen 47306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-sumge0 47178  df-ome 47305  df-caragen 47307

This theorem is used by:  caragensal  47340