Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 45835
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenunicl.y (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
caragenunicl.ctb (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4914 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ βˆ…)
2 uni0 4933 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
31, 2eqtrdi 2783 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
43adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆ…)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
75, 6caragen0 45817 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
10 simpl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ πœ‘)
11 neqne 2943 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1211adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
15 reldom 8961 . . . . . . . . . 10 Rel β‰Ό
16 brrelex1 5725 . . . . . . . . . 10 ((Rel β‰Ό ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 9120 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ… β‰Ί 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
2213, 21mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝑋)
23 nnenom 13969 . . . . . . . . 9 β„• β‰ˆ Ο‰
2423ensymi 9016 . . . . . . . 8 Ο‰ β‰ˆ β„•
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰ˆ β„•)
26 domentr 9025 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2714, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
2827adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
29 fodomr 9144 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31 founiiun 44475 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
335adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 1 ∈ β„€)
35 nnuz 12887 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
36 fof 6805 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
4037, 39fssd 6734 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘†)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 45834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4342ex 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4443adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4544exlimdv 1929 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝑋 β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
489, 47pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑋 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8952   β‰Ό cdom 8953   β‰Ί csdm 8954  1c1 11131  β„•cn 12234  OutMeascome 45800  CaraGenccaragen 45802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-sumge0 45674  df-ome 45801  df-caragen 45803
This theorem is referenced by:  caragensal  45836
  Copyright terms: Public domain W3C validator