Theorem caragenunicl 46911

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
caragenunicl.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4876	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∪ ∅)
2		uni0 4893	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∅)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 = ∅)
5		caragenunicl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		caragenunicl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
7	5, 6	caragen0 46893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
9	4, 8	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
10		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
15		reldom 8903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
16		brrelex1 5687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
17	15, 16	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20		0sdomg 9048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	13, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23		nnenom 13917	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
24	23	ensymi 8955	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26		domentr 8964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
27	14, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29		fodomr 9070	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
30	22, 28, 29	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31		founiiun 45567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
33	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34		1zzd 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35		nnuz 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
36		fof 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	fssd 6689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 46910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	32, 41	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
43	42	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
45	44	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
46	30, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
47	10, 12, 46	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
48	9, 47	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100  Rel wrel 5639  ⟶wf 6498  –onto→wfo 6500  ‘cfv 6502  ωcom 7820   ≈ cen 8894   ≼ cdom 8895   ≺ csdm 8896  1c1 11041  ℕcn 12159  OutMeascome 46876  CaraGenccaragen 46878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-ac2 10387  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-ac 10040  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xadd 13041  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624  df-sumge0 46750  df-ome 46877  df-caragen 46879

This theorem is referenced by:  caragensal  46912