Theorem caragenunicl 46544

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
caragenunicl.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4917	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∪ ∅)
2		uni0 4934	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∅)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 = ∅)
5		caragenunicl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		caragenunicl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
7	5, 6	caragen0 46526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
9	4, 8	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
10		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11		neqne 2947	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
15		reldom 8992	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
16		brrelex1 5737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
17	15, 16	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20		0sdomg 9145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	13, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23		nnenom 14022	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
24	23	ensymi 9045	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26		domentr 9054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
27	14, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29		fodomr 9169	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
30	22, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31		founiiun 45189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
33	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34		1zzd 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35		nnuz 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
36		fof 6819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	fssd 6752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 46543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	32, 41	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
43	42	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
45	44	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
46	30, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
47	10, 12, 46	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
48	9, 47	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ∪ cuni 4906  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5142  Rel wrel 5689  ⟶wf 6556  –onto→wfo 6558  ‘cfv 6560  ωcom 7888   ≈ cen 8983   ≼ cdom 8984   ≺ csdm 8985  1c1 11157  ℕcn 12267  OutMeascome 46509  CaraGenccaragen 46511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383  df-ome 46510  df-caragen 46512

This theorem is referenced by:  caragensal  46545