Theorem caragenunicl 47450

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
caragenunicl.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4878	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∪ ∅)
2		uni0 4896	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∅)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 = ∅)
5		caragenunicl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		caragenunicl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
7	5, 6	caragen0 47432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
9	4, 8	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
10		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11		neqne 2963	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
15		reldom 8958	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
16		brrelex1 5701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
17	15, 16	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20		0sdomg 9104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	13, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23		nnenom 14077	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
24	23	ensymi 9010	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26		domentr 9019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
27	14, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29		fodomr 9126	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
30	22, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31		founiiun 46109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
32	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
33	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34		1zzd 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35		nnuz 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
36		fof 6785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	fssd 6716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 47449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	32, 41	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
43	42	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
45	44	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
46	30, 45	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
47	10, 12, 46	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
48	9, 47	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  Rel wrel 5653  ⟶wf 6524  –onto→wfo 6526  ‘cfv 6528  ωcom 7861   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  1c1 11158  ℕcn 12290  OutMeascome 47415  CaraGenccaragen 47417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xadd 13197  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-sumge0 47289  df-ome 47416  df-caragen 47418

This theorem is used by:  caragensal  47451