Theorem caragenunicl 45226

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
caragenunicl.ctb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4918	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∪ ∅)
2		uni0 4938	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑋 = ∅)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 = ∅)
5		caragenunicl.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		caragenunicl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
7	5, 6	caragen0 45208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
9	4, 8	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
10		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11		neqne 2948	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
15		reldom 8941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
16		brrelex1 5727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
17	15, 16	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20		0sdomg 9100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	13, 21	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23		nnenom 13941	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
24	23	ensymi 8996	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26		domentr 9005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
27	14, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29		fodomr 9124	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
30	22, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋)
31		founiiun 43860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
32	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
33	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34		1zzd 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35		nnuz 12861	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
36		fof 6802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	fssd 6732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 45225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	32, 41	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑋) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
43	42	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
45	44	exlimdv 1936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑋 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆))
46	30, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
47	10, 12, 46	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)
48	9, 47	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑋 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5147  Rel wrel 5680  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  ωcom 7851   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934  1c1 11107  ℕcn 12208  OutMeascome 45191  CaraGenccaragen 45193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45065  df-ome 45192  df-caragen 45194

This theorem is referenced by:  caragensal  45227