Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 42262
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y (𝜑𝑋𝑆)
caragenunicl.ctb (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (𝜑 𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4716 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
2 uni0 4735 . . . . 5 ∅ = ∅
31, 2syl6eq 2824 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
43adantl 474 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
75, 6caragen0 42244 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
87adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2860 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
10 simpl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11 neqne 2969 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1211adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≼ ω)
15 reldom 8310 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
16 brrelex1 5451 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 677 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
1918adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 8440 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2213, 21mpbird 249 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23 nnenom 13161 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
2423ensymi 8354 . . . . . . . 8 ω ≈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26 domentr 8363 . . . . . . 7 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
2714, 25, 26syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
2827adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29 fodomr 8462 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
31 founiiun 40885 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
3231adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
335adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 11824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35 nnuz 12093 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
36 fof 6416 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝑋𝑓:ℕ⟶𝑋)
3736adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
3938adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4037, 39fssd 6355 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 42261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4342ex 405 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4443adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4544exlimdv 1892 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 576 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
489, 47pm2.61dan 800 1 (𝜑 𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wne 2961  Vcvv 3409  wss 3823  c0 4172   cuni 4708   ciun 4788   class class class wbr 4925  Rel wrel 5408  wf 6181  ontowfo 6183  cfv 6185  ωcom 7394  cen 8301  cdom 8302  csdm 8303  1c1 10334  cn 11437  OutMeascome 42227  CaraGenccaragen 42229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-ac2 9681  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-disj 4894  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-omul 7908  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-acn 9163  df-ac 9334  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xadd 12323  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902  df-sumge0 42101  df-ome 42228  df-caragen 42230
This theorem is referenced by:  caragensal  42263
  Copyright terms: Public domain W3C validator