Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0vtxrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0vtxrusgr 27377
 Description: A graph with no vertices and an empty edge function is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
0vtxrusgr ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑊

Proof of Theorem 0vtxrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgr0v 27041 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
21adantr 484 . . 3 (((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 ∈ USGraph)
3 0vtxrgr 27376 . . . . . 6 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑣 ∈ ℕ0* 𝐺 RegGraph 𝑣)
4 breq2 5035 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑘 → (𝐺 RegGraph 𝑣𝐺 RegGraph 𝑘))
54rspccv 3568 . . . . . 6 (∀𝑣 ∈ ℕ0* 𝐺 RegGraph 𝑣 → (𝑘 ∈ ℕ0*𝐺 RegGraph 𝑘))
63, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝑘 ∈ ℕ0*𝐺 RegGraph 𝑘))
763adant3 1129 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝑘 ∈ ℕ0*𝐺 RegGraph 𝑘))
87imp 410 . . 3 (((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 RegGraph 𝑘)
9 isrusgr 27361 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑘 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 RegGraph 𝑘)))
1093ad2antl1 1182 . . 3 (((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 RegGraph 𝑘)))
112, 8, 10mpbir2and 712 . 2 (((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
1211ralrimiva 3149 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  ℕ0*cxnn0 11958  Vtxcvtx 26799  iEdgciedg 26800  USGraphcusgr 26952   RegGraph crgr 27355   RegUSGraph crusgr 27356 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-2 11691  df-uhgr 26861  df-upgr 26885  df-uspgr 26953  df-usgr 26954  df-rgr 27357  df-rusgr 27358 This theorem is referenced by:  0uhgrrusgr  27378  0grrusgr  27379
 Copyright terms: Public domain W3C validator