Theorem 0vtxrusgr 29987

Description: A graph with no vertices and an empty edge function is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0vtxrusgr	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑊

Proof of Theorem 0vtxrusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr0v 29651	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		0vtxrgr 29986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑣 ∈ ℕ0* 𝐺 RegGraph 𝑣)
4		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (𝐺 RegGraph 𝑣 ↔ 𝐺 RegGraph 𝑘))
5	4	rspccv 3580	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℕ0* 𝐺 RegGraph 𝑣 → (𝑘 ∈ ℕ0* → 𝐺 RegGraph 𝑘))
6	3, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝑘 ∈ ℕ0* → 𝐺 RegGraph 𝑘))
7	6	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝑘 ∈ ℕ0* → 𝐺 RegGraph 𝑘))
8	7	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 RegGraph 𝑘)
9		isrusgr 29971	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 RegGraph 𝑘)))
10	9	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 RegGraph 𝑘)))
11	2, 8, 10	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
12	11	ralrimiva 3159	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  ℕ₀^*cxnn0 12594  Vtxcvtx 29403  iEdgciedg 29404  USGraphcusgr 29559   RegGraph crgr 29965   RegUSGraph crusgr 29966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-2 12320  df-uhgr 29465  df-upgr 29489  df-uspgr 29560  df-usgr 29561  df-rgr 29967  df-rusgr 29968

This theorem is used by:  0uhgrrusgr  29988  0grrusgr  29989