Theorem 0grrusgr 27468

Description: The null graph represented by an empty set is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grrusgr	⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅ RegUSGraph 𝑘

Proof of Theorem 0grrusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5177	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		vtxval0 26931	. 2 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
3		iedgval0 26932	. 2 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
4		0vtxrusgr 27466	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (Vtx‘∅) = ∅ ∧ (iEdg‘∅) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅ RegUSGraph 𝑘)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1458	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅ RegUSGraph 𝑘

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  ℕ₀^*cxnn0 12006  Vtxcvtx 26888  iEdgciedg 26889   RegUSGraph crusgr 27445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-2 11737  df-slot 16545  df-base 16547  df-edgf 26882  df-vtx 26890  df-iedg 26891  df-uhgr 26950  df-upgr 26974  df-uspgr 27042  df-usgr 27043  df-rgr 27446  df-rusgr 27447

This theorem is referenced by:  0grrgr  27469