Theorem 0grrusgr 27079

Description: The null graph represented by an empty set is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grrusgr	⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘

Proof of Theorem 0grrusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5064	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		vtxval0 26542	. 2 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
3		iedgval0 26543	. 2 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
4		0vtxrusgr 27077	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (Vtx‘∅) = ∅ ∧ (iEdg‘∅) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1441	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  Vcvv 3408  ∅c0 4172   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ℕ₀^*cxnn0 11777  Vtxcvtx 26499  iEdgciedg 26500  RegUSGraphcrusgr 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-2 11501  df-slot 16341  df-base 16343  df-edgf 26493  df-vtx 26501  df-iedg 26502  df-uhgr 26561  df-upgr 26585  df-uspgr 26653  df-usgr 26654  df-rgr 27057  df-rusgr 27058

This theorem is referenced by:  0grrgr  27080