Theorem fz0sn 13576

Description: An integer range from 0 to 0 is a singleton. (Contributed by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn	⊢ (0...0) = {0}

Proof of Theorem fz0sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12530	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzsn 13515	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0...0) = {0}

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558  (class class class)co 7360  0cc0 11033  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  1fv  13596  binomfallfac  16001  ef0lem  16038  4sqlem19  16929  gsumws1  18801  srgbinom  20207  psrbaglefi  21905  pmatcollpw3fi1lem1  22773  0spth  30218  0clwlkv  30223  wlkl0  30459  vieta  33776  breprexp  34829  0prjspnlem  43088  0prjspnrel  43092  fmtnorec2  48035  stgr0  48465