Theorem fz0sn 12821

Description: An integer range from 0 to 0 is a singleton. (Contributed by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn	⊢ (0...0) = {0}

Proof of Theorem fz0sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11802	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzsn 12763	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0...0) = {0}

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {csn 4435  (class class class)co 6974  0cc0 10333  ℤcz 11791  ...cfz 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-addrcl 10394  ax-rnegex 10404  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-neg 10671  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707

This theorem is referenced by:  1fv  12840  binomfallfac  15253  ef0lem  15290  4sqlem19  16153  gsumws1  17856  srgbinom  19030  psrbaglefi  19878  pmatcollpw3fi1lem1  21113  0spth  27670  0clwlkv  27675  wlkl0  27935  breprexp  31584  0prjspnlem  38713  0prjspnrel  38714  fmtnorec2  43107