Theorem fz0sn 13667

Description: An integer range from 0 to 0 is a singleton. (Contributed by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn	⊢ (0...0) = {0}

Proof of Theorem fz0sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12624	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzsn 13606	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0...0) = {0}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  1fv  13687  binomfallfac  16077  ef0lem  16114  4sqlem19  17001  gsumws1  18851  srgbinom  20228  psrbaglefi  21946  pmatcollpw3fi1lem1  22792  0spth  30145  0clwlkv  30150  wlkl0  30386  breprexp  34648  0prjspnlem  42633  0prjspnrel  42637  fmtnorec2  47530  stgr0  47927