MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvffz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvffz0 13560
Description: The function value of a function from a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 13-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fvffz0 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → (𝑃𝐼) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem fvffz0
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉)
2 simp2 1138 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ0)
3 simp1 1137 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nn0re 12423 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
5 nn0re 12423 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 ltle 11244 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑁𝐼𝑁))
74, 5, 6syl2anr 598 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < 𝑁𝐼𝑁))
873impia 1118 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼𝑁)
9 elfz2nn0 13533 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐼𝑁))
102, 3, 8, 9syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
1110adantr 482 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
121, 11ffvelcdmd 7037 1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → (𝑃𝐼) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   < clt 11190  cle 11191  0cn0 12414  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  upgr3v3e3cycl  29127  upgr4cycl4dv4e  29132
  Copyright terms: Public domain W3C validator