Theorem 2atjlej 37493

Description: Two atoms are different if their join majorizes the join of two different atoms. (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ps1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ps1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ps1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atjlej	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ≠ 𝑆)

Proof of Theorem 2atjlej

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1210	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))
2		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp21 1205	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp22 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		simp23 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
6		simp31 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
7		simp32 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
8		ps1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ps1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		ps1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	ps-1 37491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆)))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	syl132anc 1387	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆)))
13	1, 12	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))
14	9, 10	lnnat 37441	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
15	2, 3, 4, 14	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
16	5, 15	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
17	13, 16	eqneltrrd 2859	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴)
18	9, 10	lnnat 37441	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴))
19	2, 6, 7, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ≠ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  cdlemg46  38749