Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atjlej Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atjlej 39188
Description: Two atoms are different if their join majorizes the join of two different atoms. (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l = (le‘𝐾)
ps1.j = (join‘𝐾)
ps1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atjlej ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝑆)

Proof of Theorem 2atjlej
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))
2 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑃𝐴)
4 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑄𝐴)
5 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑃𝑄)
6 simp31 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
7 simp32 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
8 ps1.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 ps1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 ps1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10ps-1 39186 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑆)))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 11syl132anc 1385 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑆)))
131, 12mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑆))
149, 10lnnat 39136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
152, 3, 4, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
165, 15mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
1713, 16eqneltrrd 2847 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐴)
189, 10lnnat 39136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅𝑆 ↔ ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐴))
192, 6, 7, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → (𝑅𝑆 ↔ ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐴))
2017, 19mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7413  lecple 17265  joincjn 18328  Atomscatm 38971  HLchlt 39058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18312  df-poset 18330  df-plt 18347  df-lub 18363  df-glb 18364  df-join 18365  df-meet 18366  df-p0 18442  df-lat 18449  df-clat 18516  df-oposet 38884  df-ol 38886  df-oml 38887  df-covers 38974  df-ats 38975  df-atl 39006  df-cvlat 39030  df-hlat 39059
This theorem is referenced by:  cdlemg46  40444
  Copyright terms: Public domain W3C validator