Theorem 2atjlej 40355

Description: Two atoms are different if their join majorizes the join of two different atoms. (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ps1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ps1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ps1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atjlej	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ≠ 𝑆)

Proof of Theorem 2atjlej

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1230	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))
2		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
6		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
7		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
8		ps1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ps1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		ps1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	ps-1 40353	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆)))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	syl132anc 1415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆)))
13	1, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))
14	9, 10	lnnat 40303	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
15	2, 3, 4, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴))
16	5, 15	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
17	13, 16	eqneltrrd 2881	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴)
18	9, 10	lnnat 40303	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴))
19	2, 6, 7, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ≠ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  lecple 17352  joincjn 18402  Atomscatm 40139  HLchlt 40226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-p0 18514  df-lat 18523  df-clat 18590  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227

This theorem is used by:  cdlemg46  41611