Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm4 39280
Description: Two lattice lines that majorize the same atom always meet. (Contributed by NM, 20-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm4.l = (le‘𝐾)
2llnm4.m = (meet‘𝐾)
2llnm4.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnm4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnm4.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2llnm4
StepHypRef Expression
1 hlatl 39069 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 hllat 39072 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnm4.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 39219 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 simp23 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑌𝑁)
116, 7llnbase 39219 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 2llnm4.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcl 18458 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
154, 9, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp21 1203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃𝐴)
17 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑃 𝑋𝑃 𝑌))
18 2llnm4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
196, 18atbase 38998 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21 2llnm4.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
226, 21, 13latlem12 18484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
234, 20, 9, 12, 22syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
2417, 23mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃 (𝑋 𝑌))
25 2llnm4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
266, 21, 25, 18atlen0 39019 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
272, 15, 16, 24, 26syl31anc 1370 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  lecple 17266  meetcmee 18330  0.cp0 18441  Latclat 18449  Atomscatm 38972  AtLatcal 38973  HLchlt 39059  LLinesclln 39201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-lat 18450  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208
This theorem is referenced by:  2llnmeqat  39281  dalem2  39371
  Copyright terms: Public domain W3C validator