Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnm4 38744
Description: Two lattice lines that majorize the same atom always meet. (Contributed by NM, 20-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnm4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnm4.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2llnm4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnm4.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnm4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
Proof of Theorem 2llnm4
StepHypRef Expression
1 hlatl 38533 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1133 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3 hllat 38536 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 2llnm4.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 7llnbase 38683 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp23 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
116, 7llnbase 38683 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 2llnm4.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
146, 13latmcl 18397 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
154, 9, 12, 14syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp21 1206 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17 simp3 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ))
18 2llnm4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
196, 18atbase 38462 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 2llnm4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
226, 21, 13latlem12 18423 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
234, 20, 9, 12, 22syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2417, 23mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
25 2llnm4.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
266, 21, 25, 18atlen0 38483 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
272, 15, 16, 24, 26syl31anc 1373 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  meetcmee 18269  0.cp0 18380  Latclat 18388  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523  LLinesclln 38665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672
This theorem is referenced by:  2llnmeqat  38745  dalem2  38835
  Copyright terms: Public domain W3C validator