Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm4 36865
 Description: Two lattice lines that majorize the same atom always meet. (Contributed by NM, 20-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm4.l = (le‘𝐾)
2llnm4.m = (meet‘𝐾)
2llnm4.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnm4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnm4.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2llnm4
StepHypRef Expression
1 hlatl 36655 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 hllat 36658 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnm4.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 36804 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 simp23 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑌𝑁)
116, 7llnbase 36804 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 2llnm4.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcl 17658 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
154, 9, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp21 1203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃𝐴)
17 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑃 𝑋𝑃 𝑌))
18 2llnm4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
196, 18atbase 36584 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21 2llnm4.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
226, 21, 13latlem12 17684 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
234, 20, 9, 12, 22syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
2417, 23mpbid 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → 𝑃 (𝑋 𝑌))
25 2llnm4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
266, 21, 25, 18atlen0 36605 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
272, 15, 16, 24, 26syl31anc 1370 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  lecple 16568  meetcmee 17551  0.cp0 17643  Latclat 17651  Atomscatm 36558  AtLatcal 36559  HLchlt 36645  LLinesclln 36786 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-lat 17652  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793 This theorem is referenced by:  2llnmeqat  36866  dalem2  36956
 Copyright terms: Public domain W3C validator