Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmeqat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmeqat 36867
Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmeqat.l = (le‘𝐾)
2llnmeqat.m = (meet‘𝐾)
2llnmeqat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmeqat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmeqat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem 2llnmeqat
StepHypRef Expression
1 simp3r 1199 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 (𝑋 𝑌))
2 hlatl 36656 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp23 1205 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃𝐴)
5 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
6 simp21 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
7 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌𝑁)
8 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 hllat 36659 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 2llnmeqat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12atbase 36585 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnmeqat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
1611, 15llnbase 36805 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1811, 15llnbase 36805 . . . . . . . 8 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 2llnmeqat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
21 2llnmeqat.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
2211, 20, 21latlem12 17680 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
2310, 14, 17, 19, 22syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
241, 23mpbird 260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 𝑋𝑃 𝑌))
25 eqid 2798 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2620, 21, 25, 12, 152llnm4 36866 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
275, 4, 6, 7, 24, 26syl131anc 1380 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
2821, 25, 12, 152llnmat 36820 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
295, 6, 7, 8, 27, 28syl32anc 1375 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3020, 12atcmp 36607 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
313, 4, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
321, 31mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647  Atomscatm 36559  AtLatcal 36560  HLchlt 36646  LLinesclln 36787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794
This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  37825
  Copyright terms: Public domain W3C validator