Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmeqat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnmeqat 38430
Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmeqat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnmeqat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmeqat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmeqat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmeqat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Proof of Theorem 2llnmeqat
StepHypRef Expression
1 simp3r 1202 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
2 hlatl 38218 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 simp21 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
7 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
8 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
9 hllat 38221 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
12 2llnmeqat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1311, 12atbase 38147 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 2llnmeqat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
1611, 15llnbase 38368 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1811, 15llnbase 38368 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 2llnmeqat.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 2llnmeqat.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2211, 20, 21latlem12 18415 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2310, 14, 17, 19, 22syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
241, 23mpbird 256 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ))
25 eqid 2732 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
2620, 21, 25, 12, 152llnm4 38429 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
275, 4, 6, 7, 24, 26syl131anc 1383 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
2821, 25, 12, 152llnmat 38383 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
295, 6, 7, 8, 27, 28syl32anc 1378 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
3020, 12atcmp 38169 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
313, 4, 29, 30syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
321, 31mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LLinesclln 38350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357
This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  39388
  Copyright terms: Public domain W3C validator