Theorem 2llnmeqat 38380

Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmeqat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnmeqat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnmeqat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmeqat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnmeqat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 ∧ 𝑌))

Proof of Theorem 2llnmeqat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1203	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
2		hlatl 38168	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	2	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		simp23 1209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
6		simp21 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑁)
7		simp22 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑁)
8		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ≠ 𝑌)
9		hllat 38171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
11		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12		2llnmeqat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12	atbase 38097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15		2llnmeqat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
16	11, 15	llnbase 38318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17	6, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 15	llnbase 38318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20		2llnmeqat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		2llnmeqat.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	11, 20, 21	latlem12 18415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) ↔ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
23	10, 14, 17, 19, 22	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → ((𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) ↔ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
24	1, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌))
25		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
26	20, 21, 25, 12, 15	2llnm4 38379	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
27	5, 4, 6, 7, 24, 26	syl131anc 1384	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
28	21, 25, 12, 15	2llnmat 38333	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
29	5, 6, 7, 8, 27, 28	syl32anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
30	20, 12	atcmp 38119	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
31	3, 4, 29, 30	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
32	1, 31	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  Atomscatm 38071  AtLatcal 38072  HLchlt 38158  LLinesclln 38300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307

This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  39338