Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmeqat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnmeqat 38442
Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmeqat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnmeqat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmeqat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmeqat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmeqat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Proof of Theorem 2llnmeqat
StepHypRef Expression
1 simp3r 1203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
2 hlatl 38230 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
323ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp23 1209 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 simp21 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
7 simp22 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
8 simp3l 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
9 hllat 38233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
12 2llnmeqat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1311, 12atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 2llnmeqat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
1611, 15llnbase 38380 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1811, 15llnbase 38380 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 2llnmeqat.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 2llnmeqat.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2211, 20, 21latlem12 18419 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2310, 14, 17, 19, 22syl13anc 1373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
241, 23mpbird 257 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ))
25 eqid 2733 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
2620, 21, 25, 12, 152llnm4 38441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑃 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
275, 4, 6, 7, 24, 26syl131anc 1384 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
2821, 25, 12, 152llnmat 38395 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
295, 6, 7, 8, 27, 28syl32anc 1379 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
3020, 12atcmp 38181 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
313, 4, 29, 30syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
321, 31mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Latclat 18384  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134  HLchlt 38220  LLinesclln 38362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369
This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  39400
  Copyright terms: Public domain W3C validator