Theorem 0psubclN 40448

Description: The empty set is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 0psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4330	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾))
3		eqid 2741	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	3	2pol0N 40416	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
5		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		0psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 3, 6	ispsubclN 40442	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (∅ ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)))
8	2, 4, 7	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263  ‘cfv 6488  Atomscatm 39768  HLchlt 39855  ⊥_𝑃cpolN 40407  PSubClcpscN 40439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39681  df-ol 39683  df-oml 39684  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856  df-pmap 40009  df-polarityN 40408  df-psubclN 40440

This theorem is referenced by:  pclfinclN  40455