Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0psubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0psubclN 37238
Description: The empty set is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
0psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
0psubclN (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 0psubclN
StepHypRef Expression
1 0ss 4307 . . 3 ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
21a1i 11 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾))
3 eqid 2801 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
432pol0N 37206 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)
5 eqid 2801 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6 0psubcl.c . . 3 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 3, 6ispsubclN 37232 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (∅ ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)))
82, 4, 7mpbir2and 712 1 (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wss 3884  c0 4246  cfv 6328  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  𝑃cpolN 37197  PSubClcpscN 37229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-undef 7926  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-pmap 36799  df-polarityN 37198  df-psubclN 37230
This theorem is referenced by:  pclfinclN  37245
  Copyright terms: Public domain W3C validator