Theorem 0psubclN 40663

Description: The empty set is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 0psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4356	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾))
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	3	2pol0N 40631	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		0psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 3, 6	ispsubclN 40657	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (∅ ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)))
8	2, 4, 7	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  Atomscatm 39983  HLchlt 40070  ⊥_𝑃cpolN 40622  PSubClcpscN 40654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39896  df-ol 39898  df-oml 39899  df-covers 39986  df-ats 39987  df-atl 40018  df-cvlat 40042  df-hlat 40071  df-pmap 40224  df-polarityN 40623  df-psubclN 40655

This theorem is referenced by:  pclfinclN  40670