Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0psubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0psubclN 39849
Description: The empty set is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
0psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
0psubclN (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 0psubclN
StepHypRef Expression
1 0ss 4419 . . 3 ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
21a1i 11 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾))
3 eqid 2734 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
432pol0N 39817 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)
5 eqid 2734 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6 0psubcl.c . . 3 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 3, 6ispsubclN 39843 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (∅ ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)))
82, 4, 7mpbir2and 712 1 (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  wss 3970  c0 4347  cfv 6572  Atomscatm 39168  HLchlt 39255  𝑃cpolN 39808  PSubClcpscN 39840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-p1 18491  df-lat 18497  df-clat 18564  df-oposet 39081  df-ol 39083  df-oml 39084  df-covers 39171  df-ats 39172  df-atl 39203  df-cvlat 39227  df-hlat 39256  df-pmap 39410  df-polarityN 39809  df-psubclN 39841
This theorem is referenced by:  pclfinclN  39856
  Copyright terms: Public domain W3C validator