Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0N 39389
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pcl0.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pcl0N (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)

Proof of Theorem pcl0N
StepHypRef Expression
1 0ss 4392 . . . 4 βˆ… βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ) = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
4 pcl0.c . . . . 5 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
52, 3, 4pclss2polN 39388 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ… βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) βŠ† ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜βˆ…)))
61, 5mpan2 690 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) βŠ† ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜βˆ…)))
732pol0N 39378 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜((βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)β€˜βˆ…)) = βˆ…)
86, 7sseqtrd 4018 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ…)
9 ss0 4394 . 2 ((π‘ˆβ€˜βˆ…) βŠ† βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
108, 9syl 17 1 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  Atomscatm 38729  HLchlt 38816  PClcpclN 39354  βŠ₯𝑃cpolN 39369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-pclN 39355  df-polarityN 39370
This theorem is referenced by:  pcl0bN  39390  pclfinclN  39417
  Copyright terms: Public domain W3C validator