Theorem pcl0N 40382

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcl0.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4341	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4		pcl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
5	2, 3, 4	pclss2polN 40381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
6	1, 5	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
7	3	2pol0N 40371	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
8	6, 7	sseqtrd 3959	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9		ss0 4343	. 2 ⊢ ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  PClcpclN 40347  ⊥_𝑃cpolN 40362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-pclN 40348  df-polarityN 40363

This theorem is referenced by:  pcl0bN  40383  pclfinclN  40410