Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0N 37218
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pcl0.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pcl0N (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N
StepHypRef Expression
1 0ss 4304 . . . 4 ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2 eqid 2798 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 eqid 2798 . . . . 5 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
4 pcl0.c . . . . 5 𝑈 = (PCl‘𝐾)
52, 3, 4pclss2polN 37217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)))
61, 5mpan2 690 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)))
732pol0N 37207 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)
86, 7sseqtrd 3955 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9 ss0 4306 . 2 ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
108, 9syl 17 1 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  c0 4243  cfv 6324  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  PClcpclN 37183  𝑃cpolN 37198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-undef 7922  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-pclN 37184  df-polarityN 37199
This theorem is referenced by:  pcl0bN  37219  pclfinclN  37246
  Copyright terms: Public domain W3C validator