Theorem pcl0N 40947

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcl0.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4		pcl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
5	2, 3, 4	pclss2polN 40946	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
6	1, 5	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
7	3	2pol0N 40936	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
8	6, 7	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9		ss0 4352	. 2 ⊢ ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6531  Atomscatm 40288  HLchlt 40375  PClcpclN 40912  ⊥_𝑃cpolN 40927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-pclN 40913  df-polarityN 40928

This theorem is used by:  pcl0bN  40948  pclfinclN  40975