Theorem pcl0N 37622

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcl0.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4297	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4		pcl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
5	2, 3, 4	pclss2polN 37621	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
6	1, 5	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
7	3	2pol0N 37611	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
8	6, 7	sseqtrd 3927	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9		ss0 4299	. 2 ⊢ ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  ‘cfv 6358  Atomscatm 36963  HLchlt 37050  PClcpclN 37587  ⊥_𝑃cpolN 37602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-riotaBAD 36653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-undef 7993  df-proset 17756  df-poset 17774  df-plt 17790  df-lub 17806  df-glb 17807  df-join 17808  df-meet 17809  df-p0 17885  df-p1 17886  df-lat 17892  df-clat 17959  df-oposet 36876  df-ol 36878  df-oml 36879  df-covers 36966  df-ats 36967  df-atl 36998  df-cvlat 37022  df-hlat 37051  df-psubsp 37203  df-pmap 37204  df-pclN 37588  df-polarityN 37603

This theorem is referenced by:  pcl0bN  37623  pclfinclN  37650