Theorem pcl0N 39916

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcl0.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4363	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4		pcl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
5	2, 3, 4	pclss2polN 39915	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
6	1, 5	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)))
7	3	2pol0N 39905	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
8	6, 7	sseqtrd 3983	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9		ss0 4365	. 2 ⊢ ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  PClcpclN 39881  ⊥_𝑃cpolN 39896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-pclN 39882  df-polarityN 39897

This theorem is referenced by:  pcl0bN  39917  pclfinclN  39944