Theorem ac6c5 9639

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c5	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6c4.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	ac6c4 9638	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
4		exsimpr 1914	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  Vcvv 3398  ∅c0 4141   Fn wfn 6130  ‘cfv 6135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-ac2 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-en 8242  df-card 9098  df-ac 9272

This theorem is referenced by:  konigthlem  9725