Theorem ac6c5 10474

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c5	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6c4.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	ac6c4 10473	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
4		exsimpr 1864	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  Vcvv 3466  ∅c0 4315   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-ac2 10455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-en 8937  df-card 9931  df-ac 10108

This theorem is referenced by:  konigthlem  10560