MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6c5 10419
Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1 𝐴 ∈ V
ac6c4.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac6c5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c5
StepHypRef Expression
1 ac6c4.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 ac6c4.2 . . 3 𝐵 ∈ V
31, 2ac6c4 10418 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
4 exsimpr 1873 . 2 (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
53, 4syl 17 1 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3446  c0 4283   Fn wfn 6492  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10400
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-en 8885  df-card 9876  df-ac 10053
This theorem is referenced by:  konigthlem  10505
  Copyright terms: Public domain W3C validator