Theorem ac9 10407

Description: An Axiom of Choice equivalent: the infinite Cartesian product of nonempty classes is nonempty. Axiom of Choice (second form) of [Enderton] p. 55 and its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac9	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac9

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6c4.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6c4.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	ac6c4 10405	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
4		n0 4294	. . . 4 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
5		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
6	5	elixp 8854	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
7	6	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
8	4, 7	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
9	3, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
10		ixpn0 8880	. 2 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
11	9, 10	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ∅c0 4274   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  Xcixp 8847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-ac2 10387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-ixp 8848  df-en 8896  df-card 9865  df-ac 10040

This theorem is referenced by:  konigthlem  10493