Theorem ac6c4 10394

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c4	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ≠ ∅
2		nfcsb1v 3862	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅
4	2, 3	nfne 3034	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅
5		csbeq1a 3852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅))
7	1, 4, 6	cbvralw 3280	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅)
8		n0 4294	. . . . 5 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
9		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝐴
10		nfre1 3263	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
11	2	nfel2 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
12	5	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
13	11, 12	rspce 3554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eliun 4938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
16		rspe 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
17	15, 16	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
19	9, 10, 18	exlimd 2226	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
20	8, 19	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
21	20	ralimia 3072	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
22	7, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
23		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
24		ac6c4.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
25	23, 24	iunex 7914	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
26		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
27	23, 25, 26	ac6 10393	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
28		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
29		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵
30	2	nfel2 2918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
31		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
32	31, 5	eleq12d 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
33	29, 30, 32	cbvralw 3280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
34	33	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
35	28, 34	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
36	35	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
37	22, 27, 36	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ⦋csb 3838  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-en 8887  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by:  ac6c5  10395  ac9  10396