Theorem ac6c4 10519

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c4	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ≠ ∅
2		nfcsb1v 3933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅
4	2, 3	nfne 3041	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅
5		csbeq1a 3922	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	neeq1d 2998	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅))
7	1, 4, 6	cbvralw 3304	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅)
8		n0 4359	. . . . 5 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
9		nfv 1912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝐴
10		nfre1 3283	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
11	2	nfel2 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
12	5	eleq2d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
13	11, 12	rspce 3611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eliun 5000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
16		rspe 3247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
17	15, 16	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
19	9, 10, 18	exlimd 2216	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
20	8, 19	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
21	20	ralimia 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
22	7, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
23		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
24		ac6c4.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
25	23, 24	iunex 7992	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
26		eleq1 2827	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
27	23, 25, 26	ac6 10518	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
28		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
29		nfv 1912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵
30	2	nfel2 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
31		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
32	31, 5	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
33	29, 30, 32	cbvralw 3304	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
34	33	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
35	28, 34	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
36	35	eximi 1832	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
37	22, 27, 36	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478  ⦋csb 3908  ∅c0 4339  ∪ ciun 4996   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-en 8985  df-card 9977  df-ac 10154

This theorem is referenced by:  ac6c5  10520  ac9  10521