Theorem ac6c4 10417

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c4	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ≠ ∅
2		nfcsb1v 3880	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅
4	2, 3	nfne 3045	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅
5		csbeq1a 3869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	neeq1d 3003	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅))
7	1, 4, 6	cbvralw 3289	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅)
8		n0 4306	. . . . 5 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
9		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝐴
10		nfre1 3268	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
11	2	nfel2 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
12	5	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
13	11, 12	rspce 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eliun 4958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
16		rspe 3232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
17	15, 16	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
19	9, 10, 18	exlimd 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
20	8, 19	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
21	20	ralimia 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
22	7, 21	sylbi 216	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
23		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
24		ac6c4.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
25	23, 24	iunex 7901	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
26		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
27	23, 25, 26	ac6 10416	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
28		ffn 6668	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
29		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵
30	2	nfel2 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
31		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
32	31, 5	eleq12d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
33	29, 30, 32	cbvralw 3289	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
34	33	biimpri 227	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
35	28, 34	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
36	35	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
37	22, 27, 36	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445  ⦋csb 3855  ∅c0 4282  ∪ ciun 4954   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-ac2 10399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-en 8884  df-card 9875  df-ac 10052

This theorem is referenced by:  ac6c5  10418  ac9  10419