MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6c4 10521
Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1 𝐴 ∈ V
ac6c4.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac6c4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . 4 𝑧 𝐵 ≠ ∅
2 nfcsb1v 3923 . . . . 5 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥
42, 3nfne 3043 . . . 4 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅
5 csbeq1a 3913 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
65neeq1d 3000 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅))
71, 4, 6cbvralw 3306 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅)
8 n0 4353 . . . . 5 (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
9 nfv 1914 . . . . . 6 𝑦 𝑧𝐴
10 nfre1 3285 . . . . . 6 𝑦𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
112nfel2 2924 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
125eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
1311, 12rspce 3611 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
14 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
1513, 14sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
16 rspe 3249 . . . . . . . 8 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1715, 16sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1817ex 412 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
199, 10, 18exlimd 2218 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
208, 19biimtrid 242 . . . 4 (𝑧𝐴 → (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
2120ralimia 3080 . . 3 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
227, 21sylbi 217 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
23 ac6c4.1 . . 3 𝐴 ∈ V
24 ac6c4.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
2523, 24iunex 7993 . . 3 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
26 eleq1 2829 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
2723, 25, 26ac6 10520 . 2 (∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
28 ffn 6736 . . . 4 (𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵𝑓 Fn 𝐴)
29 nfv 1914 . . . . . 6 𝑧(𝑓𝑥) ∈ 𝐵
302nfel2 2924 . . . . . 6 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵
31 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
3231, 5eleq12d 2835 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
3329, 30, 32cbvralw 3306 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵)
3433biimpri 228 . . . 4 (∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
3528, 34anim12i 613 . . 3 ((𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3635eximi 1835 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3722, 27, 363syl 18 1 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  csb 3899  c0 4333   ciun 4991   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-en 8986  df-card 9979  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  ac6c5  10522  ac9  10523
  Copyright terms: Public domain W3C validator