MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem11 10100
Description: Lemma for ackbij1 10108. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 ssexg 5279 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
2 elinel1 4154 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
32elpwid 4568 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
4 sstr 3951 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
53, 4sylan2 594 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
61, 5elpwd 4565 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
76ancoms 460 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
8 elinel2 4155 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssfi 9051 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
108, 9sylan 581 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
117, 10elind 4153 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cin 3908  wss 3909  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   ciun 4953  cmpt 5187   × cxp 5629  cfv 6492  ωcom 7793  Fincfn 8817  cardccrd 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7794  df-1o 8380  df-en 8818  df-fin 8821
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10101  ackbij1lem15  10104  ackbij1lem16  10105  ackbij1lem18  10107
  Copyright terms: Public domain W3C validator