MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem11 10266
Description: Lemma for ackbij1 10274. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 ssexg 5328 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
2 elinel1 4210 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
32elpwid 4613 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
4 sstr 4003 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
53, 4sylan2 593 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
61, 5elpwd 4610 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
76ancoms 458 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
8 elinel2 4211 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssfi 9211 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
108, 9sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
117, 10elind 4209 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   ciun 4995  cmpt 5230   × cxp 5686  cfv 6562  ωcom 7886  Fincfn 8983  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10267  ackbij1lem15  10270  ackbij1lem16  10271  ackbij1lem18  10273
  Copyright terms: Public domain W3C validator