Theorem ackbij1lem11 10189

Description: Lemma for ackbij1 10197. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem11	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5281	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
2		elinel1 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
3	2	elpwid 4575	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
4		sstr 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
6	1, 5	elpwd 4572	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7	6	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
8		elinel2 4168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
9		ssfi 9143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
10	8, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11	7, 10	elind 4166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ‘cfv 6514  ωcom 7845  Fincfn 8921  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10190  ackbij1lem15  10193  ackbij1lem16  10194  ackbij1lem18  10196