MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem11 9640
Description: Lemma for ackbij1 9648. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 ssexg 5218 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
2 elinel1 4169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
32elpwid 4549 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
4 sstr 3972 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
53, 4sylan2 592 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
61, 5elpwd 4546 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
76ancoms 459 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
8 elinel2 4170 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssfi 8726 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
108, 9sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
117, 10elind 4168 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   ciun 4910  cmpt 5137   × cxp 5546  cfv 6348  ωcom 7569  Fincfn 8497  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-om 7570  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9641  ackbij1lem15  9644  ackbij1lem16  9645  ackbij1lem18  9647
  Copyright terms: Public domain W3C validator