Theorem ackbij1lem12 10299

Description: Lemma for ackbij1 10306. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem12	⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10297	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem11 10298	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		ffvelcdm 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
6		difssd 4160	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
7	1	ackbij1lem11 10298	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8	6, 7	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9		ffvelcdm 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
10	2, 8, 9	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
11		nnaword1 8685	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
12	5, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
13		disjdif 4495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
15	1	ackbij1lem9 10296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	3, 8, 14, 15	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
17		undif 4505	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
18	17	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
20	19	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
21	16, 20	eqtr3d 2782	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
22	12, 21	sseqtrd 4049	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ ciun 5015   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   +_o coa 8519  Fincfn 9003  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10302  ackbij1b  10307