Theorem ackbij1lem12 10186

Description: Lemma for ackbij1 10193. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem12	⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10184	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem11 10185	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		ffvelcdm 7062	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
5	2, 3, 4	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
6		difssd 4090	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
7	1	ackbij1lem11 10185	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8	6, 7	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9		ffvelcdm 7062	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
10	2, 8, 9	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
11		nnaword1 8599	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
12	5, 10, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
13		disjdif 4426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
15	1	ackbij1lem9 10183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	3, 8, 14, 15	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
17		undif 4436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
18	17	bilani 508	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
19	18	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
20	16, 19	eqtr3d 2799	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
21	12, 20	sseqtrd 3972	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582  ∪ ciun 4949   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ωcom 7846   +_o coa 8434  Fincfn 8927  cardccrd 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10189  ackbij1b  10194