Theorem ackbij1lem12 10229

Description: Lemma for ackbij1 10236. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem12	⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10227	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem11 10228	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		ffvelcdm 7080	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
6		difssd 4091	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
7	1	ackbij1lem11 10228	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8	6, 7	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9		ffvelcdm 7080	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
10	2, 8, 9	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
11		nnaword1 8621	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
13		disjdif 4433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
15	1	ackbij1lem9 10226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	3, 8, 14, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
17		undif 4445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
18	17	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
19	18	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
20	16, 19	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
21	12, 20	sseqtrd 3974	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ωcom 7868   +_o coa 8456  Fincfn 8949  cardccrd 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941

This theorem is used by:  ackbij1lem15  10232  ackbij1b  10237