Theorem ackbij1lem12 10183

Description: Lemma for ackbij1 10190. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem12	⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10181	. . . 4 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem11 10182	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		ffvelcdm 7053	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ ω)
6		difssd 4100	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
7	1	ackbij1lem11 10182	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8	6, 7	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9		ffvelcdm 7053	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω)
11		nnaword1 8593	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ω) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
13		disjdif 4435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
15	1	ackbij1lem9 10180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	3, 8, 14, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
17		undif 4445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
18	17	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
20	19	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
21	16, 20	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) +o (𝐹‘(𝐵 ∖ 𝐴))) = (𝐹‘𝐵))
22	12, 21	sseqtrd 3983	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842   +_o coa 8431  Fincfn 8918  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10186  ackbij1b  10191