MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem12 10230
Description: Lemma for ackbij1 10237. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem12 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΄) βŠ† (πΉβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem12
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 10228 . . . 4 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
31ackbij1lem11 10229 . . . 4 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4 ffvelcdm 7083 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰ ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
52, 3, 4sylancr 586 . . 3 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
6 difssd 4132 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡)
71ackbij1lem11 10229 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
86, 7syldan 590 . . . 4 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
9 ffvelcdm 7083 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰ ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
102, 8, 9sylancr 586 . . 3 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰)
11 nnaword1 8633 . . 3 (((πΉβ€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜π΄) βŠ† ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
125, 10, 11syl2anc 583 . 2 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΄) βŠ† ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
13 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = βˆ…
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = βˆ…)
151ackbij1lem9 10227 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
163, 8, 14, 15syl3anc 1370 . . 3 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴))) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
17 undif 4481 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
1817biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
1918adantl 481 . . . 4 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
2019fveq2d 6895 . . 3 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΅))
2116, 20eqtr3d 2773 . 2 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))) = (πΉβ€˜π΅))
2212, 21sseqtrd 4022 1 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΄) βŠ† (πΉβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859   +o coa 8467  Fincfn 8943  cardccrd 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938
This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10233  ackbij1b  10238
  Copyright terms: Public domain W3C validator