Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem12 9642
 Description: Lemma for ackbij1 9649. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem12 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 9640 . . . 4 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
31ackbij1lem11 9641 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4 ffvelrn 6845 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹𝐴) ∈ ω)
52, 3, 4sylancr 587 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ ω)
6 difssd 4113 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
71ackbij1lem11 9641 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
86, 7syldan 591 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9 ffvelrn 6845 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω)
102, 8, 9sylancr 587 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω)
11 nnaword1 8245 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω) → (𝐹𝐴) ⊆ ((𝐹𝐴) +o (𝐹‘(𝐵𝐴))))
125, 10, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ ((𝐹𝐴) +o (𝐹‘(𝐵𝐴))))
13 disjdif 4424 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
151ackbij1lem9 9639 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝐹𝐴) +o (𝐹‘(𝐵𝐴))))
163, 8, 14, 15syl3anc 1365 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝐹𝐴) +o (𝐹‘(𝐵𝐴))))
17 undif 4433 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1817biimpi 217 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1918adantl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
2019fveq2d 6671 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3d 2863 . 2 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐹𝐴) +o (𝐹‘(𝐵𝐴))) = (𝐹𝐵))
2212, 21sseqtrd 4011 1 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  𝒫 cpw 4542  {csn 4564  ∪ ciun 4917   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ωcom 7568   +o coa 8090  Fincfn 8498  cardccrd 9353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-dju 9319  df-card 9357 This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  9645  ackbij1b  9650
 Copyright terms: Public domain W3C validator