Theorem ackbij1lem10 9916

Description: Lemma for ackbij1 9925. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2		elinel2 4126	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3		snfi 8788	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
4		elinel1 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
5	4	elpwid 4541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6		onfin2 8945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
7		inss2 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
8	6, 7	eqsstri 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ⊆ Fin
9	5, 8	sstrdi 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
10	9	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11		pwfi 8923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
12	10, 11	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13		xpfi 9015	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
14	3, 12, 13	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16		iunfi 9037	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17	2, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18		ficardom 9650	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
20	1, 19	fmpti 6968	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ωcom 7687  Fincfn 8691  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9918  ackbij1lem13  9919  ackbij1lem14  9920  ackbij1lem15  9921  ackbij1lem16  9922  ackbij1lem17  9923  ackbij1lem18  9924  ackbij1b  9926