MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 10238
Description: Lemma for ackbij1 10247. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
2 elinel2 4192 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3 snfi 9058 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4191 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4607 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Ο‰)
6 onfin2 9245 . . . . . . . . . 10 Ο‰ = (On ∩ Fin)
7 inss2 4225 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
86, 7eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 Ο‰ βŠ† Fin
95, 8sstrdi 3990 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Fin)
109sselda 3978 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
11 pwfi 9192 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1210, 11sylib 217 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13 xpfi 9331 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
143, 12, 13sylancr 586 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1514ralrimiva 3141 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16 iunfi 9354 . . . 4 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 ficardom 9970 . . 3 (βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
1917, 18syl 17 . 2 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
201, 19fmpti 7116 1 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   ∩ cin 3943  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7862  Fincfn 8953  cardccrd 9944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7863  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10240  ackbij1lem13  10241  ackbij1lem14  10242  ackbij1lem15  10243  ackbij1lem16  10244  ackbij1lem17  10245  ackbij1lem18  10246  ackbij1b  10248
  Copyright terms: Public domain W3C validator