MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 10173
Description: Lemma for ackbij1 10182. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
2 elinel2 4160 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3 snfi 8994 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4159 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4573 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Ο‰)
6 onfin2 9181 . . . . . . . . . 10 Ο‰ = (On ∩ Fin)
7 inss2 4193 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
86, 7eqsstri 3982 . . . . . . . . 9 Ο‰ βŠ† Fin
95, 8sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Fin)
109sselda 3948 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
11 pwfi 9128 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1210, 11sylib 217 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13 xpfi 9267 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
143, 12, 13sylancr 588 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1514ralrimiva 3140 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16 iunfi 9290 . . . 4 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 585 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 ficardom 9905 . . 3 (βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
1917, 18syl 17 . 2 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
201, 19fmpti 7064 1 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  Oncon0 6321  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806  Fincfn 8889  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10175  ackbij1lem13  10176  ackbij1lem14  10177  ackbij1lem15  10178  ackbij1lem16  10179  ackbij1lem17  10180  ackbij1lem18  10181  ackbij1b  10183
  Copyright terms: Public domain W3C validator