Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 9658
 Description: Lemma for ackbij1 9667. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2 elinel2 4126 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3 snfi 8595 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
54elpwid 4511 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6 onfin2 8713 . . . . . . . . . 10 ω = (On ∩ Fin)
7 inss2 4159 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
86, 7eqsstri 3951 . . . . . . . . 9 ω ⊆ Fin
95, 8sstrdi 3929 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
109sselda 3917 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11 pwfi 8821 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1210, 11sylib 221 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13 xpfi 8791 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
143, 12, 13sylancr 590 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1514ralrimiva 3149 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16 iunfi 8814 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 587 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 ficardom 9392 . . 3 ( 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
1917, 18syl 17 . 2 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
201, 19fmpti 6863 1 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ∪ ciun 4885   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  Oncon0 6166  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  ωcom 7573  Fincfn 8510  cardccrd 9366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-card 9370 This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9660  ackbij1lem13  9661  ackbij1lem14  9662  ackbij1lem15  9663  ackbij1lem16  9664  ackbij1lem17  9665  ackbij1lem18  9666  ackbij1b  9668
 Copyright terms: Public domain W3C validator