Theorem ackbij1lem10 10211

Description: Lemma for ackbij1 10220. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2		elinel2 4163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3		snfi 9040	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
4		elinel1 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
5	4	elpwid 4576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6		onfin2 9201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
7		inss2 4198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
8	6, 7	eqsstri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ⊆ Fin
9	5, 8	sstrdi 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
10	9	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11		pwfi 9278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
12	10, 11	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13		xpfi 9279	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
14	3, 12, 13	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16		iunfi 9300	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17	2, 15, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18		ficardom 9947	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
20	1, 19	fmpti 7108	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ ciun 4960   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ωcom 7862  Fincfn 8943  cardccrd 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10213  ackbij1lem13  10214  ackbij1lem14  10215  ackbij1lem15  10216  ackbij1lem16  10217  ackbij1lem17  10218  ackbij1lem18  10219  ackbij1b  10221