Theorem ackbij1lem10 10188

Description: Lemma for ackbij1 10197. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2		elinel2 4168	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3		snfi 9017	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
4		elinel1 4167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
5	4	elpwid 4575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6		onfin2 9186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
7		inss2 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
8	6, 7	eqsstri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ⊆ Fin
9	5, 8	sstrdi 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
10	9	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11		pwfi 9275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13		xpfi 9276	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
14	3, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16		iunfi 9301	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17	2, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18		ficardom 9921	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
20	1, 19	fmpti 7087	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3916  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  Oncon0 6335  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ωcom 7845  Fincfn 8921  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10190  ackbij1lem13  10191  ackbij1lem14  10192  ackbij1lem15  10193  ackbij1lem16  10194  ackbij1lem17  10195  ackbij1lem18  10196  ackbij1b  10198