MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 10223
Description: Lemma for ackbij1 10232. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
2 elinel2 4196 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3 snfi 9043 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4195 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4611 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Ο‰)
6 onfin2 9230 . . . . . . . . . 10 Ο‰ = (On ∩ Fin)
7 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
86, 7eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 Ο‰ βŠ† Fin
95, 8sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† Fin)
109sselda 3982 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
11 pwfi 9177 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1210, 11sylib 217 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13 xpfi 9316 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
143, 12, 13sylancr 587 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1514ralrimiva 3146 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16 iunfi 9339 . . . 4 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 ficardom 9955 . . 3 (βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
1917, 18syl 17 . 2 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
201, 19fmpti 7111 1 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7854  Fincfn 8938  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10225  ackbij1lem13  10226  ackbij1lem14  10227  ackbij1lem15  10228  ackbij1lem16  10229  ackbij1lem17  10230  ackbij1lem18  10231  ackbij1b  10233
  Copyright terms: Public domain W3C validator