Theorem ackbij1lem10 10144

Description: Lemma for ackbij1 10153. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2		elinel2 4143	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3		snfi 8984	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
4		elinel1 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
5	4	elpwid 4551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6		onfin2 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
7		inss2 4179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
8	6, 7	eqsstri 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ⊆ Fin
9	5, 8	sstrdi 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
10	9	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11		pwfi 9223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13		xpfi 9224	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
14	3, 12, 13	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16		iunfi 9247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17	2, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18		ficardom 9879	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
20	1, 19	fmpti 7059	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ωcom 7811  Fincfn 8887  cardccrd 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10146  ackbij1lem13  10147  ackbij1lem14  10148  ackbij1lem15  10149  ackbij1lem16  10150  ackbij1lem17  10151  ackbij1lem18  10152  ackbij1b  10154