MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 10211
Description: Lemma for ackbij1 10220. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2 elinel2 4194 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3 snfi 9032 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4193 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
54elpwid 4607 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
6 onfin2 9219 . . . . . . . . . 10 ω = (On ∩ Fin)
7 inss2 4227 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
86, 7eqsstri 4014 . . . . . . . . 9 ω ⊆ Fin
95, 8sstrdi 3992 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
109sselda 3980 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11 pwfi 9166 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1210, 11sylib 217 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
13 xpfi 9305 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
143, 12, 13sylancr 588 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1514ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16 iunfi 9328 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 585 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 ficardom 9943 . . 3 ( 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
1917, 18syl 17 . 2 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
201, 19fmpti 7099 1 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  cin 3945  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   ciun 4993  cmpt 5227   × cxp 5670  Oncon0 6356  wf 6531  cfv 6535  ωcom 7842  Fincfn 8927  cardccrd 9917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-om 7843  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9921
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10213  ackbij1lem13  10214  ackbij1lem14  10215  ackbij1lem15  10216  ackbij1lem16  10217  ackbij1lem17  10218  ackbij1lem18  10219  ackbij1b  10221
  Copyright terms: Public domain W3C validator