MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o1 19404
Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
32subgacs 19013 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
4 acsmre 17578 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
51, 3, 43syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
6 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
76snssd 4805 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
8 odf1o1.k . . . . . . 7 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
98mrccl 17537 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 simpr 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
125, 8, 7mrcssidd 17551 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
13 snidg 4656 . . . . . . 7 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
146, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
1512, 14sseldd 3979 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
16 odf1o1.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1716subgmulgcl 18991 . . . . 5 (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
1810, 11, 15, 17syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
1918ex 413 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴})))
20 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
2120breq1d 5151 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
22 zsubcl 12586 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
24 0dvds 16202 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
2621, 25bitrd 278 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
27 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
28 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
29 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
31 odf1o1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
32 eqid 2731 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
332, 31, 16, 32odcong 19381 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
3427, 28, 29, 30, 33syl112anc 1374 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
35 zcn 12545 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36 zcn 12545 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37 subeq0 11468 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3938adantl 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
4026, 34, 393bitr3d 308 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4140ex 413 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
4219, 41dom2lem 8971 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}))
4318fmpttd 7099 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}))
44 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
452, 16, 44, 8cycsubg2 19053 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
46453adant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
4746eqcomd 2737 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
48 dffo2 6796 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
4943, 47, 48sylanbrc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}))
50 df-f1o 6539 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴})))
5142, 49, 50sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  wf 6528  1-1wf1 6529  ontowfo 6530  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  0cc0 11092  cmin 11426  cz 12540  cdvds 16179  Basecbs 17126  0gc0g 17367  Moorecmre 17508  mrClscmrc 17509  ACScacs 17511  Grpcgrp 18794  .gcmg 18922  SubGrpcsubg 18972  odcod 19356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-od 19360
This theorem is referenced by:  odhash  19406
  Copyright terms: Public domain W3C validator