Theorem odf1o1 19666

Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	subgacs 19251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
4		acsmre 17726	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5	1, 3, 4	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
6		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	6	snssd 4754	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
8		odf1o1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	8	mrccl 17685	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5, 7, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	5, 8, 7	mrcssidd 17699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
13		snidg 4628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
14	6, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
15	12, 14	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
16		odf1o1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
17	16	subgmulgcl 19230	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
18	10, 11, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
19	18	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴})))
20		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
21	20	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
22		zsubcl 12647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
24		0dvds 16352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
26	21, 25	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
27		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
28		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
31		odf1o1.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
32		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	2, 31, 16, 32	odcong 19643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
34	27, 28, 29, 30, 33	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
35		zcn 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36		zcn 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37		subeq0 11495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
38	35, 36, 37	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
40	26, 34, 39	3bitr3d 312	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	40	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
42	19, 41	dom2lem 8991	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}))
43	18	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}))
44		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
45	2, 16, 44, 8	cycsubg2 19305	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
46	45	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
47	46	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
48		dffo2 6800	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
49	43, 47, 48	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}))
50		df-f1o 6547	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴})))
51	42, 49, 50	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   − cmin 11452  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16328  Basecbs 17287  0_gc0g 17510  Moorecmre 17652  mrClscmrc 17653  ACScacs 17655  Grpcgrp 19024  ._gcmg 19157  SubGrpcsubg 19210  odcod 19618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-od 19622

This theorem is used by:  odhash  19668