Theorem odf1o1 19614

Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	subgacs 19201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
4		acsmre 17710	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
6		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	6	snssd 4834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
8		odf1o1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	8	mrccl 17669	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5, 7, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	5, 8, 7	mrcssidd 17683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
13		snidg 4682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
15	12, 14	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
16		odf1o1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
17	16	subgmulgcl 19179	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
18	10, 11, 15, 17	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴})))
20		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
21	20	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
22		zsubcl 12685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
24		0dvds 16325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
26	21, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
27		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
28		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
31		odf1o1.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
32		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	2, 31, 16, 32	odcong 19591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
34	27, 28, 29, 30, 33	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
35		zcn 12644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36		zcn 12644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37		subeq0 11562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
38	35, 36, 37	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
40	26, 34, 39	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
42	19, 41	dom2lem 9052	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}))
43	18	fmpttd 7149	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}))
44		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
45	2, 16, 44, 8	cycsubg2 19250	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
46	45	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
47	46	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
48		dffo2 6838	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
49	43, 47, 48	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}))
50		df-f1o 6580	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴})))
51	42, 49, 50	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Moorecmre 17640  mrClscmrc 17641  ACScacs 17643  Grpcgrp 18973  ._gcmg 19107  SubGrpcsubg 19160  odcod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-od 19570

This theorem is referenced by:  odhash  19616