MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o1 19605
Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
32subgacs 19192 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
4 acsmre 17697 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
51, 3, 43syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
6 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
76snssd 4814 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
8 odf1o1.k . . . . . . 7 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
98mrccl 17656 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 simpr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
125, 8, 7mrcssidd 17670 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
13 snidg 4665 . . . . . . 7 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
146, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
1512, 14sseldd 3996 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
16 odf1o1.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1716subgmulgcl 19170 . . . . 5 (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
1810, 11, 15, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
1918ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴})))
20 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
2120breq1d 5158 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
22 zsubcl 12657 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
24 0dvds 16311 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
2621, 25bitrd 279 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
27 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
28 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
29 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
31 odf1o1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
32 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
332, 31, 16, 32odcong 19582 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
3427, 28, 29, 30, 33syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
35 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37 subeq0 11533 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3938adantl 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
4026, 34, 393bitr3d 309 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4140ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
4219, 41dom2lem 9031 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}))
4318fmpttd 7135 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}))
44 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
452, 16, 44, 8cycsubg2 19241 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
46453adant3 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
4746eqcomd 2741 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
48 dffo2 6825 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
4943, 47, 48sylanbrc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}))
50 df-f1o 6570 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴})))
5142, 49, 50sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  wf 6559  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  cmin 11490  cz 12611  cdvds 16287  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628  ACScacs 17630  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-od 19561
This theorem is referenced by:  odhash  19607
  Copyright terms: Public domain W3C validator