MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o1 19440
Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
odf1o1.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
odf1o1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
odf1o1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
odf1o1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑂   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem odf1o1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
32subgacs 19041 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
4 acsmre 17596 . . . . . . 7 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
51, 3, 43syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
6 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
76snssd 4813 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑋)
8 odf1o1.k . . . . . . 7 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
98mrccl 17555 . . . . . 6 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ {𝐴} βŠ† 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
105, 7, 9syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11 simpr 486 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
125, 8, 7mrcssidd 17569 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
13 snidg 4663 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
146, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
1512, 14sseldd 3984 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
16 odf1o1.t . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜πΊ)
1716subgmulgcl 19019 . . . . 5 (((πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴})) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
1810, 11, 15, 17syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
1918ex 414 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴})))
20 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 0)
2120breq1d 5159 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ 0 βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
22 zsubcl 12604 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„€)
2322adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„€)
24 0dvds 16220 . . . . . . 7 ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„€ β†’ (0 βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (0 βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0))
2621, 25bitrd 279 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0))
27 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
28 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
29 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
30 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
31 odf1o1.o . . . . . . 7 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
332, 31, 16, 32odcong 19417 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
3427, 28, 29, 30, 33syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
35 zcn 12563 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
36 zcn 12563 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
37 subeq0 11486 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
3835, 36, 37syl2an 597 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
3938adantl 483 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
4026, 34, 393bitr3d 309 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4140ex 414 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦)))
4219, 41dom2lem 8988 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–1-1β†’(πΎβ€˜{𝐴}))
4318fmpttd 7115 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):β„€βŸΆ(πΎβ€˜{𝐴}))
44 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
452, 16, 44, 8cycsubg2 19087 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
46453adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
4746eqcomd 2739 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴}))
48 dffo2 6810 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):β„€βŸΆ(πΎβ€˜{𝐴}) ∧ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴})))
4943, 47, 48sylanbrc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
50 df-f1o 6551 . 2 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–1-1β†’(πΎβ€˜{𝐴}) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴})))
5142, 49, 50sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):℀–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Moorecmre 17526  mrClscmrc 17527  ACScacs 17529  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000  odcod 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-od 19396
This theorem is referenced by:  odhash  19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator