Theorem odf1o1 19793

Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	subgacs 19378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
4		acsmre 17833	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5	1, 3, 4	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
6		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	6	snssd 4743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
8		odf1o1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	8	mrccl 17792	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5, 7, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	5, 8, 7	mrcssidd 17806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
13		snidg 4617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
14	6, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
15	12, 14	sseldd 3910	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
16		odf1o1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
17	16	subgmulgcl 19357	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
18	10, 11, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
19	18	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴})))
20		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
21	20	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
22		zsubcl 12743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
24		0dvds 16453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
26	21, 25	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
27		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
28		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
31		odf1o1.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
32		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	2, 31, 16, 32	odcong 19770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
34	27, 28, 29, 30, 33	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
35		zcn 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36		zcn 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37		subeq0 11589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
38	35, 36, 37	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
40	26, 34, 39	3bitr3d 312	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	40	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
42	19, 41	dom2lem 9024	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}))
43	18	fmpttd 7118	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}))
44		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
45	2, 16, 44, 8	cycsubg2 19432	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
46	45	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)))
47	46	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
48		dffo2 6803	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ⟶(𝐾‘{𝐴}) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
49	43, 47, 48	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴}))
50		df-f1o 6548	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1→(𝐾‘{𝐴}) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–onto→(𝐾‘{𝐴})))
51	42, 49, 50	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205   − cmin 11546  ℤcz 12698   ∥ cdvds 16429  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  Moorecmre 17759  mrClscmrc 17760  ACScacs 17762  Grpcgrp 19151  ._gcmg 19284  SubGrpcsubg 19337  odcod 19745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-dvds 16430  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-0g 17619  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-od 19749

This theorem is used by:  odhash  19795