Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdspan 19222
 Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dprdspan (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
2 eqidd 2759 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3 dprdgrp 19200 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54subgacs 18385 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6 acsmre 16986 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
73, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8 dprdf 19201 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
98ffnd 6503 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
10 fniunfv 7003 . . . . . . 7 (𝑆 Fn dom 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
12 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13 eqidd 2759 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
14 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
1512, 13, 14dprdub 19220 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1615ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
17 iunss 4937 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17sylibr 237 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1911, 18eqsstrrd 3933 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
204dprdssv 19211 . . . . 5 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
2119, 20sstrdi 3906 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
22 dprdspan.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2322mrccl 16945 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
247, 21, 23syl2anc 587 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25 eqimss 3950 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2611, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
27 iunss 4937 . . . . . 6 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2826, 27sylib 221 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2928r19.21bi 3137 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
307, 22, 21mrcssidd 16959 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3130adantr 484 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3229, 31sstrd 3904 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
331, 2, 24, 32dprdlub 19221 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
34 dprdsubg 19219 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3522mrcsscl 16954 . . 3 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
367, 19, 34, 35syl3anc 1368 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3733, 36eqssd 3911 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801  ∪ ciun 4886   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ran crn 5528   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  Moorecmre 16916  mrClscmrc 16917  ACScacs 16919  Grpcgrp 18174  SubGrpcsubg 18345   DProd cdprd 19188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-gim 18471  df-cntz 18519  df-oppg 18546  df-cmn 18980  df-dprd 19190 This theorem is referenced by:  dprdres  19223  dprdf1o  19227  subgdprd  19230  dprdsn  19231  dprd2dlem1  19236  dprd2da  19237  dprd2db  19238  dmdprdsplit2lem  19240
 Copyright terms: Public domain W3C validator