MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdspan 19939
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
dprdspan (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 eqidd 2732 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ dom 𝑆 = dom 𝑆)
3 dprdgrp 19917 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
54subgacs 19078 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
6 acsmre 17601 . . . . 5 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
73, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
8 dprdf 19918 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝑆:dom π‘†βŸΆ(SubGrpβ€˜πΊ))
98ffnd 6718 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝑆 Fn dom 𝑆)
10 fniunfv 7249 . . . . . . 7 (𝑆 Fn dom 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ ran 𝑆)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ ran 𝑆)
12 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
13 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ dom 𝑆 = dom 𝑆)
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝑆)
1512, 13, 14dprdub 19937 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
1615ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
17 iunss 5048 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17sylibr 233 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
1911, 18eqsstrrd 4021 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
204dprdssv 19928 . . . . 5 (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
2119, 20sstrdi 3994 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
22 dprdspan.k . . . . 5 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
2322mrccl 17560 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
247, 21, 23syl2anc 583 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
25 eqimss 4040 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ ran 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
2611, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
27 iunss 5048 . . . . . 6 (βˆͺ π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
2826, 27sylib 217 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
2928r19.21bi 3247 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
307, 22, 21mrcssidd 17574 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
3130adantr 480 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
3229, 31sstrd 3992 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
331, 2, 24, 32dprdlub 19938 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
34 dprdsubg 19936 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3522mrcsscl 17569 . . 3 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
367, 19, 34, 35syl3anc 1370 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
3733, 36eqssd 3999 1 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = (πΎβ€˜βˆͺ ran 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Moorecmre 17531  mrClscmrc 17532  ACScacs 17534  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-cmn 19692  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  dprdres  19940  dprdf1o  19944  subgdprd  19947  dprdsn  19948  dprd2dlem1  19953  dprd2da  19954  dprd2db  19955  dmdprdsplit2lem  19957
  Copyright terms: Public domain W3C validator