Theorem dprdspan 19958

Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdspan.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprdspan	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3		dprdgrp 19936	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgacs 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6		acsmre 17575	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8		dprdf 19937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
9	8	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 Fn dom 𝑆)
10		fniunfv 7193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn dom 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
15	12, 13, 14	dprdub 19956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ralrimiva 3128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
17		iunss 5000	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
19	11, 18	eqsstrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
20	4	dprdssv 19947	. . . . 5 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
21	19, 20	sstrdi 3946	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
22		dprdspan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
23	22	mrccl 17534	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	7, 21, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25		eqimss 3992	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
26	11, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
27		iunss 5000	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
28	26, 27	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
29	28	r19.21bi 3228	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
30	7, 22, 21	mrcssidd 17548	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
32	29, 31	sstrd 3944	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
33	1, 2, 24, 32	dprdlub 19957	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
34		dprdsubg 19955	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35	22	mrcsscl 17543	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
36	7, 19, 34, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
37	33, 36	eqssd 3951	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Moorecmre 17501  mrClscmrc 17502  ACScacs 17504  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050   DProd cdprd 19924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-cmn 19711  df-dprd 19926

This theorem is referenced by:  dprdres  19959  dprdf1o  19963  subgdprd  19966  dprdsn  19967  dprd2dlem1  19972  dprd2da  19973  dprd2db  19974  dmdprdsplit2lem  19976