Theorem dprdspan 19970

Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdspan.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprdspan	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3		dprdgrp 19948	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgacs 19102	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6		acsmre 17587	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8		dprdf 19949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
9	8	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 Fn dom 𝑆)
10		fniunfv 7203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn dom 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
15	12, 13, 14	dprdub 19968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
17		iunss 5002	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
19	11, 18	eqsstrrd 3971	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
20	4	dprdssv 19959	. . . . 5 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
21	19, 20	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
22		dprdspan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
23	22	mrccl 17546	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	7, 21, 23	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25		eqimss 3994	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
26	11, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
27		iunss 5002	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
28	26, 27	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
29	28	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
30	7, 22, 21	mrcssidd 17560	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
32	29, 31	sstrd 3946	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
33	1, 2, 24, 32	dprdlub 19969	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
34		dprdsubg 19967	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35	22	mrcsscl 17555	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
36	7, 19, 34, 35	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
37	33, 36	eqssd 3953	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Moorecmre 17513  mrClscmrc 17514  ACScacs 17516  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062   DProd cdprd 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-cmn 19723  df-dprd 19938

This theorem is referenced by:  dprdres  19971  dprdf1o  19975  subgdprd  19978  dprdsn  19979  dprd2dlem1  19984  dprd2da  19985  dprd2db  19986  dmdprdsplit2lem  19988