Theorem dprdspan 19966

Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdspan.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprdspan	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3		dprdgrp 19944	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgacs 19100	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6		acsmre 17620	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8		dprdf 19945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
9	8	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 Fn dom 𝑆)
10		fniunfv 7224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn dom 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13		eqidd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
15	12, 13, 14	dprdub 19964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
17		iunss 5012	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
19	11, 18	eqsstrrd 3985	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
20	4	dprdssv 19955	. . . . 5 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
21	19, 20	sstrdi 3962	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
22		dprdspan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
23	22	mrccl 17579	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
24	7, 21, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25		eqimss 4008	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) = ∪ ran 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
26	11, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
27		iunss 5012	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
28	26, 27	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
29	28	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ∪ ran 𝑆)
30	7, 22, 21	mrcssidd 17593	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
32	29, 31	sstrd 3960	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
33	1, 2, 24, 32	dprdlub 19965	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾‘∪ ran 𝑆))
34		dprdsubg 19963	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35	22	mrcsscl 17588	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
36	7, 19, 34, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
37	33, 36	eqssd 3967	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Moorecmre 17550  mrClscmrc 17551  ACScacs 17553  Grpcgrp 18872  SubGrpcsubg 19059   DProd cdprd 19932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-cmn 19719  df-dprd 19934

This theorem is referenced by:  dprdres  19967  dprdf1o  19971  subgdprd  19974  dprdsn  19975  dprd2dlem1  19980  dprd2da  19981  dprd2db  19982  dmdprdsplit2lem  19984