Theorem addlelt 13067

Description: If the sum of a real number and a positive real number is less than or equal to a third real number, the first real number is less than the third real number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addlelt	⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Proof of Theorem addlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 12964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐴)
3		rpre 12960	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	4, 5	ltaddposd 11762	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ 𝑀 < (𝑀 + 𝐴)))
7	2, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 < (𝑀 + 𝐴))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11203	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
12		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11266	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
14	5, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
15	7, 14	mpand 695	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13466