Theorem addlelt 12917

Description: If the sum of a real number and a positive real number is less than or equal to a third real number, the first real number is less than the third real number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addlelt	⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Proof of Theorem addlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 12815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐴)
3		rpre 12811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	4, 5	ltaddposd 11632	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ 𝑀 < (𝑀 + 𝐴)))
7	2, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 < (𝑀 + 𝐴))
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11077	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
11	10	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
12		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11140	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
14	5, 11, 12, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 < (𝑀 + 𝐴) ∧ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
15	7, 14	mpand 692	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  (class class class)co 7315  ℝcr 10943  0cc0 10944   + caddc 10947   < clt 11082   ≤ cle 11083  ℝ⁺crp 12803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-ov 7318  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-rp 12804

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  13310