Theorem zltaddlt1le 13511

Description: The sum of an integer and a real number between 0 and 1 is less than or equal to a second integer iff the sum is less than the second integer. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zltaddlt1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltaddlt1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12574	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		elioore 13381	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11213	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	3adant2 1145	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
7		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1148	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		ltle 11273	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
11		elioo3g 13380	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
12		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
13	11, 12	simplbiim 512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝐴)
14	3, 13	elrpd 13036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		addlelt 13111	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
16	1, 7, 14, 15	syl3an 1174	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
17		zltp1le 12623	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	3adant3 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
19	3	3ad2ant3 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		1red 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
21	1	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
23	11, 22	simplbiim 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 < 1)
24	23	3ad2ant3 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 1)
25	19, 20, 21, 24	ltadd2dd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1))
26		peano2z 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
27	26	zred 12679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29		ltletr 11277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
30	6, 28, 8, 29	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
31	25, 30	mpand 705	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
32	18, 31	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
33	16, 32	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
34	10, 33	impbid 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ℝ⁺crp 12995  (,)cioo 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-rp 12996  df-ioo 13355

This theorem is referenced by:  halfleoddlt  16398