Theorem nn0ledivnn 13275

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		nnge1 12406	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
4		nnrp 13172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
5		nnledivrp 13274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
6	4, 5	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
7	3, 6	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
8	7	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
9		nncn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		nnne0 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
12	11	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		div0 12045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 / 𝐵) = 0)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) = 0)
15		0le0 12484	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 5150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) ≤ 0)
17		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 / 𝐵) = (0 / 𝐵))
18		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
19	17, 18	breq12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
21	16, 20	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
22	21	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
23	8, 22	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
24	1, 23	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
25	24	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-rp 13161

This theorem is used by:  2lgslem1c  27777  ceilhalfelfzo1  48677  gpgusgralem  49427