MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ledivnn 13114
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 12499 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 nnge1 12265 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
4 nnrp 13012 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
5 nnledivrp 13113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
64, 5sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
73, 6mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
87ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
9 nncn 12245 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
10 nnne0 12271 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
119, 10jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13 div0 11927 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 / 𝐵) = 0)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) = 0)
15 0le0 12338 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1614, 15eqbrtrdi 5182 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) ≤ 0)
17 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴 / 𝐵) = (0 / 𝐵))
18 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
1917, 18breq12d 5156 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2116, 20mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
2221ex 412 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
238, 22jaoi 856 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
241, 23sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
2524imp 406 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134  cle 11274   / cdiv 11896  cn 12237  0cn0 12497  +crp 13001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-rp 13002
This theorem is referenced by:  2lgslem1c  27320
  Copyright terms: Public domain W3C validator