MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltletr 10731
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 leloe 10726 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 lttr 10716 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 419 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 5069 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 231 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 855 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 242 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109impcomd 414 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cr 10535   < clt 10674  cle 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680
This theorem is referenced by:  ltleletr  10732  ltletri  10767  ltletrd  10799  ltleadd  11122  lediv12a  11532  nngt0  11667  nnrecgt0  11679  elnnnn0c  11941  elnnz1  12007  zltp1le  12031  uz3m2nn  12290  zbtwnre  12345  ledivge1le  12459  addlelt  12502  qbtwnre  12591  xlemul1a  12680  xrsupsslem  12699  zltaddlt1le  12889  elfzodifsumelfzo  13102  ssfzo12bi  13131  elfznelfzo  13141  ceile  13216  swrdswrd  14066  swrdccatin1  14086  repswswrd  14145  sqrlem4  14604  resqrex  14609  caubnd  14717  rlim2lt  14853  cos01gt0  15543  ruclem12  15593  oddge22np1  15697  sadcaddlem  15805  nn0seqcvgd  15913  coprm  16054  prmgaplem7  16392  prmlem1  16440  prmlem2  16452  icoopnst  23542  ovollb2lem  24088  dvcnvrelem1  24613  aaliou  24926  tanord  25121  logdivlti  25202  logdivlt  25203  ftalem2  25650  gausslemma2dlem1a  25940  pntlem3  26184  crctcshwlkn0lem3  27589  nn0prpwlem  33670  isbasisrelowllem1  34635  isbasisrelowllem2  34636  ltflcei  34879  tan2h  34883  poimirlem29  34920  poimirlem32  34923  stoweidlem26  42312  stoweid  42349  2leaddle2  43499  gbegt5  43927  gbowgt5  43928  sgoldbeven3prm  43949  nnsum4primesodd  43962  nnsum4primesoddALTV  43963  evengpoap3  43965  bgoldbnnsum3prm  43970  cznnring  44228  nn0sumltlt  44399  rege1logbrege0  44619  rege1logbzge0  44620  fllog2  44629  dignn0ldlem  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator