Theorem ltletr 11303

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltletr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11297	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3		lttr 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expcomd 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐶))
6	5	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impcomd 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  ltleletr  11304  ltletri  11339  ltletrd  11371  ltleadd  11694  lediv12a  12104  nngt0  12240  nnrecgt0  12252  elnnnn0c  12514  elnnz1  12585  zltp1le  12609  uz3m2nn  12872  zbtwnre  12927  ledivge1le  13042  addlelt  13085  qbtwnre  13175  xlemul1a  13264  xrsupsslem  13283  zltaddlt1le  13479  elfzodifsumelfzo  13695  ssfzo12bi  13724  elfznelfzo  13734  ceile  13811  swrdswrd  14652  swrdccatin1  14672  repswswrd  14731  01sqrexlem4  15189  resqrex  15194  caubnd  15302  rlim2lt  15438  cos01gt0  16131  ruclem12  16181  oddge22np1  16289  sadcaddlem  16395  nn0seqcvgd  16504  coprm  16645  prmgaplem7  16987  prmlem1  17038  prmlem2  17050  icoopnst  24447  ovollb2lem  24997  dvcnvrelem1  25526  aaliou  25843  tanord  26039  logdivlti  26120  logdivlt  26121  ftalem2  26568  gausslemma2dlem1a  26858  pntlem3  27102  crctcshwlkn0lem3  29056  nn0prpwlem  35196  isbasisrelowllem1  36225  isbasisrelowllem2  36226  ltflcei  36465  tan2h  36469  poimirlem29  36506  poimirlem32  36509  2xp3dxp2ge1d  41011  stoweidlem26  44729  stoweid  44766  2leaddle2  45993  gbegt5  46416  gbowgt5  46417  sgoldbeven3prm  46438  nnsum4primesodd  46451  nnsum4primesoddALTV  46452  evengpoap3  46454  bgoldbnnsum3prm  46459  cznnring  46808  nn0sumltlt  46980  rege1logbrege0  47198  rege1logbzge0  47199  fllog2  47208  dignn0ldlem  47242