Theorem ltletr 10734

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltletr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 10729	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3		lttr 10719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expcomd 419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq2 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐶))
6	5	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impcomd 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683

This theorem is referenced by:  ltleletr  10735  ltletri  10770  ltletrd  10802  ltleadd  11125  lediv12a  11535  nngt0  11671  nnrecgt0  11683  elnnnn0c  11945  elnnz1  12011  zltp1le  12035  uz3m2nn  12294  zbtwnre  12349  ledivge1le  12463  addlelt  12506  qbtwnre  12595  xlemul1a  12684  xrsupsslem  12703  zltaddlt1le  12893  elfzodifsumelfzo  13106  ssfzo12bi  13135  elfznelfzo  13145  ceile  13220  swrdswrd  14069  swrdccatin1  14089  repswswrd  14148  sqrlem4  14607  resqrex  14612  caubnd  14720  rlim2lt  14856  cos01gt0  15546  ruclem12  15596  oddge22np1  15700  sadcaddlem  15808  nn0seqcvgd  15916  coprm  16057  prmgaplem7  16395  prmlem1  16443  prmlem2  16455  icoopnst  23545  ovollb2lem  24091  dvcnvrelem1  24616  aaliou  24929  tanord  25124  logdivlti  25205  logdivlt  25206  ftalem2  25653  gausslemma2dlem1a  25943  pntlem3  26187  crctcshwlkn0lem3  27592  nn0prpwlem  33672  isbasisrelowllem1  34638  isbasisrelowllem2  34639  ltflcei  34882  tan2h  34886  poimirlem29  34923  poimirlem32  34926  2xp3dxp2ge1d  39104  stoweidlem26  42318  stoweid  42355  2leaddle2  43505  gbegt5  43933  gbowgt5  43934  sgoldbeven3prm  43955  nnsum4primesodd  43968  nnsum4primesoddALTV  43969  evengpoap3  43971  bgoldbnnsum3prm  43976  cznnring  44234  nn0sumltlt  44405  rege1logbrege0  44625  rege1logbzge0  44626  fllog2  44635  dignn0ldlem  44669