Theorem bj-isrvecd 36047

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isrvecd.scal	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvecd	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-isrvec 36043	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
2		bj-isrvecd.scal	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
3	2	eqeq1d 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
4	3	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
5	1, 4	bitrid 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  Scalarcsca 17184  LModclmod 20422  ℝ_fldcrefld 21092  ℝ-Veccrrvec 36041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-1cn 11152  ax-addcl 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-sca 17197  df-bj-rvec 36042

This theorem is referenced by:  bj-isrvec2  36049