Theorem bj-isrvecd 35983

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isrvecd.scal	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvecd	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-isrvec 35979	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
2		bj-isrvecd.scal	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
3	2	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
4	3	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
5	1, 4	bitrid 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  Scalarcsca 17182  LModclmod 20420  ℝ_fldcrefld 21090  ℝ-Veccrrvec 35977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-1cn 11150  ax-addcl 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-sca 17195  df-bj-rvec 35978

This theorem is referenced by:  bj-isrvec2  35985