Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-isrvecd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-isrvecd 36047
Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-isrvecd.scal (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‰) = 𝐾)
Assertion
Ref Expression
bj-isrvecd (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvecd
StepHypRef Expression
1 bj-isrvec 36043 . 2 (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld))
2 bj-isrvecd.scal . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‰) = 𝐾)
32eqeq1d 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
43anbi2d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
51, 4bitrid 282 1 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6533  Scalarcsca 17184  LModclmod 20422  β„fldcrefld 21092  β„-Veccrrvec 36041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-1cn 11152  ax-addcl 11154
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-sca 17197  df-bj-rvec 36042
This theorem is referenced by:  bj-isrvec2  36049
  Copyright terms: Public domain W3C validator