Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rvecrr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rvecrr 36833
Description: The field of scalars of a real vector space is the field of real numbers. (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
bj-rvecrr (𝑉 ∈ ℝ-Vec β†’ (Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld)

Proof of Theorem bj-rvecrr
StepHypRef Expression
1 bj-isrvec 36830 . 2 (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld))
21simprbi 495 1 (𝑉 ∈ ℝ-Vec β†’ (Scalarβ€˜π‘‰) = ℝfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  Scalarcsca 17235  LModclmod 20747  β„fldcrefld 21540  β„-Veccrrvec 36828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-sca 17248  df-bj-rvec 36829
This theorem is referenced by:  bj-rvecvec  36835  bj-isrvec2  36836  bj-rveccmod  36838
  Copyright terms: Public domain W3C validator