Theorem bj-isrvec2 35080

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isrvec2.scal	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec2	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-rvecvec 35079	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec))
3		bj-rvecrr 35077	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
4		bj-isrvec2.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
6	3, 5	syl5ib 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝐾 = ℝfld))
7	2, 6	jcad 516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))
8		bj-vecssmodel 35063	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
9	8	anim1i 618	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld))
10	4	bj-isrvecd 35078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
11	9, 10	syl5ibr 249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → 𝑉 ∈ ℝ-Vec))
12	7, 11	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  Scalarcsca 16664  LModclmod 19746  LVecclvec 19986  ℝ_fldcrefld 20413  ℝ-Veccrrvec 35072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-subg 18387  df-cmn 19019  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-field 19617  df-subrg 19645  df-lvec 19987  df-cnfld 20211  df-refld 20414  df-bj-rvec 35073

This theorem is referenced by: (None)