Theorem bj-isrvec2 37285

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isrvec2.scal	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec2	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-rvecvec 37284	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec))
3		bj-rvecrr 37282	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
4		bj-isrvec2.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
6	3, 5	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝐾 = ℝfld))
7	2, 6	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))
8		bj-vecssmodel 37267	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
9	8	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld))
10	4	bj-isrvecd 37283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
11	9, 10	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → 𝑉 ∈ ℝ-Vec))
12	7, 11	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  Scalarcsca 17229  LModclmod 20772  LVecclvec 21015  ℝ_fldcrefld 21519  ℝ-Veccrrvec 37277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-addf 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-lvec 21016  df-cnfld 21271  df-refld 21520  df-bj-rvec 37278

This theorem is referenced by: (None)