Theorem bj-isrvec2 36049

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-isrvec2.scal	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec2	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Proof of Theorem bj-isrvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-rvecvec 36048	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝑉 ∈ LVec))
3		bj-rvecrr 36046	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
4		bj-isrvec2.scal	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑉) = 𝐾)
5	4	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑉) = ℝfld ↔ 𝐾 = ℝfld))
6	3, 5	imbitrid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → 𝐾 = ℝfld))
7	2, 6	jcad 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec → (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))
8		bj-vecssmodel 36031	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
9	8	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld))
10	4	bj-isrvecd 36047	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝐾 = ℝfld)))
11	9, 10	imbitrrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld) → 𝑉 ∈ ℝ-Vec))
12	7, 11	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐾 = ℝfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  Scalarcsca 17184  LModclmod 20422  LVecclvec 20664  ℝ_fldcrefld 21092  ℝ-Veccrrvec 36041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-addf 11173  ax-mulf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-subg 18977  df-cmn 19616  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-cring 20019  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-dvr 20167  df-drng 20269  df-field 20270  df-subrg 20312  df-lvec 20665  df-cnfld 20881  df-refld 21093  df-bj-rvec 36042

This theorem is referenced by: (None)