Theorem bj-isrvec 35465

Description: The predicate "is a real vector space". Using df-sca 16978 instead of scaid 17025 would shorten the proof by two syntactic steps, but it is preferable not to rely on the precise definition df-sca 16978. (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 35464	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4131	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		scaid 17025	. . . . . . . 8 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4	3	slotfn 16885	. . . . . . 7 ⊢ Scalar Fn V
5		df-fn 6436	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar Fn V ↔ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V))
6	4, 5	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V)
7		elex 3450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑉 ∈ V)
8		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (dom Scalar = V → (𝑉 ∈ dom Scalar ↔ 𝑉 ∈ V))
9	7, 8	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (dom Scalar = V → 𝑉 ∈ dom Scalar))
10	9	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Fun Scalar ∧ dom Scalar = V) → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar)))
11	6, 10	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar))
12		fvimacnv 6930	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
14		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
15	14	elsn 4576	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
16	13, 15	bitr3di 286	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
17	16	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
18	2, 17	bitri 274	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  ndxcnx 16894  Scalarcsca 16965  LModclmod 20123  ℝ_fldcrefld 20809  ℝ-Veccrrvec 35463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-sca 16978  df-bj-rvec 35464

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  35466  bj-rvecrr  35468  bj-isrvecd  35469