Theorem bj-isrvec 34599

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 34598	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4167	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		bj-evalfun 34388	. . . . . 6 ⊢ Fun Slot 5
4		df-sca 16576	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot 5
5	4	funeqi 6369	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ↔ Fun Slot 5)
6	3, 5	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ Fun Scalar
7		0re 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	n0ii 4295	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℝ = ∅
9		eqcom 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝ ↔ ℝ = ∅)
10	8, 9	mtbir 325	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℝ
11		fveq2 6663	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝfld → (Base‘∅) = (Base‘ℝfld))
12		base0 16531	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13		rebase 20745	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2880	. . . . . . 7 ⊢ (∅ = ℝfld → ∅ = ℝ)
15	10, 14	mto 199	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ = ℝfld
16		elsni 4577	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ {ℝfld} → ∅ = ℝfld)
17	15, 16	mto 199	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}
18		bj-fvimacnv0 34592	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
19	6, 17, 18	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}))
20		fvex 6676	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
21	20	elsn 4575	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
22	19, 21	bitr3i 279	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
23	22	anbi2i 624	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
24	2, 23	bitri 277	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∅c0 4284  {csn 4560  ^◡ccnv 5547   “ cima 5551  Fun wfun 6342  ‘cfv 6348  ℝcr 10529  0cc0 10530  5c5 11689  Slot cslot 16477  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563  LModclmod 19629  ℝ_fldcrefld 20743  ℝ-Veccrrvec 34597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-cnfld 20541  df-refld 20744  df-bj-rvec 34598

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  34600  bj-rvecrr  34602  bj-isrvecd  34603