Theorem bj-isrvec 37295

Description: The predicate "is a real vector space". Using df-sca 17313 instead of scaid 17359 would shorten the proof by two syntactic steps, but it is preferable not to rely on the precise definition df-sca 17313. (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 37294	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4203	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		scaid 17359	. . . . . . . 8 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4	3	slotfn 17221	. . . . . . 7 ⊢ Scalar Fn V
5		df-fn 6564	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar Fn V ↔ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V))
6	4, 5	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V)
7		elex 3501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑉 ∈ V)
8		eleq2 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (dom Scalar = V → (𝑉 ∈ dom Scalar ↔ 𝑉 ∈ V))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (dom Scalar = V → 𝑉 ∈ dom Scalar))
10	9	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Fun Scalar ∧ dom Scalar = V) → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar)))
11	6, 10	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar))
12		fvimacnv 7073	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
14		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
15	14	elsn 4641	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
16	13, 15	bitr3di 286	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
17	16	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
18	2, 17	bitri 275	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  ndxcnx 17230  Scalarcsca 17300  LModclmod 20858  ℝ_fldcrefld 21622  ℝ-Veccrrvec 37293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-sca 17313  df-bj-rvec 37294

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  37296  bj-rvecrr  37298  bj-isrvecd  37299