Theorem bj-isrvec 38183

Description: The predicate "is a real vector space". Using df-sca 17424 instead of scaid 17466 shortens the proof by two syntactic steps, but it is preferable not to rely on the precise definition df-sca 17424. (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 38182	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4149	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		scaid 17466	. . . . . . . 8 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4	3	slotfn 17342	. . . . . . 7 ⊢ Scalar Fn V
5		df-fn 6534	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar Fn V ↔ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V))
6	4, 5	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V)
7		elex 3472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑉 ∈ V)
8		eleq2 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (dom Scalar = V → (𝑉 ∈ dom Scalar ↔ 𝑉 ∈ V))
9	7, 8	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (dom Scalar = V → 𝑉 ∈ dom Scalar))
10	9	anim2d 624	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Fun Scalar ∧ dom Scalar = V) → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar)))
11	6, 10	mpi 21	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar))
12		fvimacnv 7044	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
14		fvex 6890	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
15	14	elsn 4599	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
16	13, 15	bitr3di 289	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
17	16	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
18	2, 17	bitri 278	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  ndxcnx 17351  Scalarcsca 17411  LModclmod 21115  ℝ_fldcrefld 21890  ℝ-Veccrrvec 38181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-sca 17424  df-bj-rvec 38182

This theorem is used by:  bj-rvecmod  38184  bj-rvecrr  38186  bj-isrvecd  38187