Theorem bj-isrvec 34988

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 34987	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4102	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		bj-evalfun 34768	. . . . . 6 ⊢ Fun Slot 5
4		df-sca 16639	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot 5
5	4	funeqi 6356	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ↔ Fun Slot 5)
6	3, 5	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ Fun Scalar
7		0re 10681	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	n0ii 4235	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℝ = ∅
9		eqcom 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝ ↔ ℝ = ∅)
10	8, 9	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℝ
11		fveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝfld → (Base‘∅) = (Base‘ℝfld))
12		base0 16594	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13		rebase 20371	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2818	. . . . . . 7 ⊢ (∅ = ℝfld → ∅ = ℝ)
15	10, 14	mto 200	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ = ℝfld
16		elsni 4539	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ {ℝfld} → ∅ = ℝfld)
17	15, 16	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}
18		bj-fvimacnv0 34981	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
19	6, 17, 18	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}))
20		fvex 6671	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
21	20	elsn 4537	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
22	19, 21	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
23	22	anbi2i 625	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
24	2, 23	bitri 278	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4225  {csn 4522  ^◡ccnv 5523   “ cima 5527  Fun wfun 6329  ‘cfv 6335  ℝcr 10574  0cc0 10575  5c5 11732  Slot cslot 16540  Basecbs 16541  Scalarcsca 16626  LModclmod 19702  ℝ_fldcrefld 20369  ℝ-Veccrrvec 34986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-cnfld 20167  df-refld 20370  df-bj-rvec 34987

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  34989  bj-rvecrr  34991  bj-isrvecd  34992