Theorem bj-isrvec 37661

Description: The predicate "is a real vector space". Using df-sca 17234 instead of scaid 17276 shortens the proof by two syntactic steps, but it is preferable not to rely on the precise definition df-sca 17234. (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 37660	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4139	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		scaid 17276	. . . . . . . 8 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4	3	slotfn 17152	. . . . . . 7 ⊢ Scalar Fn V
5		df-fn 6495	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar Fn V ↔ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V))
6	4, 5	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ∧ dom Scalar = V)
7		elex 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑉 ∈ V)
8		eleq2 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (dom Scalar = V → (𝑉 ∈ dom Scalar ↔ 𝑉 ∈ V))
9	7, 8	syl5ibrcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (dom Scalar = V → 𝑉 ∈ dom Scalar))
10	9	anim2d 618	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Fun Scalar ∧ dom Scalar = V) → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar)))
11	6, 10	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar))
12		fvimacnv 7001	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ 𝑉 ∈ dom Scalar) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
14		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
15	14	elsn 4577	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
16	13, 15	bitr3di 287	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
17	16	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
18	2, 17	bitri 276	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  {csn 4562  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  ndxcnx 17161  Scalarcsca 17221  LModclmod 20857  ℝ_fldcrefld 21586  ℝ-Veccrrvec 37659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-sca 17234  df-bj-rvec 37660

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  37662  bj-rvecrr  37664  bj-isrvecd  37665