Theorem breprexplemb 34827

Description: Lemma for breprexp 34829 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
breprexplemb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
breprexplemb	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexp.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
2		breprexplemb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
3	1, 2	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
4		cnex 11114	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
5		nnex 12175	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 8813	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
7	3, 6	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
8		breprexplemb.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7030	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11031  0cc0 11033  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-1cn 11091  ax-addcl 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34828  circlemeth  34836