Theorem breprexplemb 34615

Description: Lemma for breprexp 34617 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
breprexplemb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
breprexplemb	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexp.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
2		breprexplemb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
3	1, 2	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
4		cnex 11125	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
5		nnex 12168	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 8821	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
7	3, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
8		breprexplemb.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  ℂcc 11042  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-map 8778  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34616  circlemeth  34624