Theorem breprexplemb 34644

Description: Lemma for breprexp 34646 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
breprexplemb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
breprexplemb	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexp.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
2		breprexplemb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
3	1, 2	ffvelcdmd 7018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
4		cnex 11087	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
5		nnex 12131	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 8795	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
7	3, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
8		breprexplemb.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7018	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℂcc 11004  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-map 8752  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34645  circlemeth  34653