Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  breprexplemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem breprexplemb 34132
Description: Lemma for breprexp 34134 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
breprexp.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
breprexp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
breprexp.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„‚)
breprexp.h (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
breprexplemb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
breprexplemb (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)

Proof of Theorem breprexplemb
StepHypRef Expression
1 breprexp.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
2 breprexplemb.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
31, 2ffvelcdmd 7077 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
4 cnex 11187 . . . 4 β„‚ ∈ V
5 nnex 12215 . . . 4 β„• ∈ V
64, 5elmap 8861 . . 3 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ (πΏβ€˜π‘‹):β„•βŸΆβ„‚)
73, 6sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘‹):β„•βŸΆβ„‚)
8 breprexplemb.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
97, 8ffvelcdmd 7077 1 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜π‘‹)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  0cc0 11106  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  ..^cfzo 13624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-map 8818  df-nn 12210
This theorem is referenced by:  breprexplemc  34133  circlemeth  34141
  Copyright terms: Public domain W3C validator