Theorem breprexplemb 34963

Description: Lemma for breprexp 34965 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
breprexplemb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
breprexplemb	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexp.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
2		breprexplemb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
3	1, 2	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
4		cnex 11181	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
5		nnex 12239	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 8869	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
7	3, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
8		breprexplemb.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7081	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  ℂcc 11098  0cc0 11100  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-map 8826  df-nn 12234

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34964  circlemeth  34972