Theorem breprexplemb 35194

Description: Lemma for breprexp 35196 (closure). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
breprexplemb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
breprexplemb	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexp.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
2		breprexplemb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
3	1, 2	ffvelcdmd 7073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
4		cnex 11252	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
5		nnex 12310	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 8877	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
7	3, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋):ℕ⟶ℂ)
8		breprexplemb.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7073	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  ℂcc 11169  0cc0 11171  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  ..^cfzo 13756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-1cn 11229  ax-addcl 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-map 8827  df-nn 12305

This theorem is used by:  breprexplemc  35195  circlemeth  35203