Theorem hashen 14307

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)))
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	2	hashginv 14294	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4	2	hashginv 14294	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) = (card‘𝐵))
5	3, 4	eqeqan12d 2754	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
6	1, 5	imbitrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
8	2	hashgval 14293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
9	2	hashgval 14293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
10	8, 9	eqeqan12d 2754	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
11	7, 10	imbitrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
12	6, 11	impbid 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13		finnum 9870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14		finnum 9870	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15		carden2 9909	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
17	12, 16	bitrd 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ωcom 7813  reccrdg 8345   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  cardccrd 9857  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hasheni  14308  hasheqf1o  14309  isfinite4  14322  hasheq0  14323  hashsng  14329  hashen1  14330  hashsdom  14341  hash1snb  14379  hashxplem  14393  hashmap  14395  hashpw  14396  hashbclem  14412  phphashd  14426  hash2pr  14429  pr2pwpr  14439  hash3tr  14451  tpf1o  14461  s7f1o  14926  isercolllem2  15626  isercoll  15628  summolem3  15674  mertenslem1  15847  prodmolem3  15896  bpolylem  16011  hashdvds  16743  crth  16746  phimullem  16747  eulerth  16751  4sqlem11  16924  lagsubg2  19167  dfod2  19537  sylow1lem2  19572  sylow2alem2  19591  slwhash  19597  sylow2  19599  sylow3lem1  19600  cyggenod  19857  lt6abl  19868  ablfac1c  20046  ablfac1eu  20048  ablfaclem3  20062  fta1blem  26161  vieta1  26303  isppw  27102  clwlknon2num  30463  numclwlk1lem2  30465  hashpss  32908  fisshasheq  35344  derangen2  35403  erdsze2lem1  35432  erdsze2lem2  35433  poimirlem9  37997  poimirlem25  38013  poimirlem26  38014  poimirlem27  38015  poimirlem28  38016  eldioph2lem1  43210  frlmpwfi  43544  isnumbasgrplem3  43551  idomsubgmo  43639  gpg5grlic  48586