MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen 13332
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6330 . . . 4 ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)))
2 eqid 2771 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
32hashginv 13318 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (card‘𝐴))
42hashginv 13318 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) = (card‘𝐵))
53, 4eqeqan12d 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
61, 5syl5ib 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7 fveq2 6330 . . . 4 ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
82hashgval 13317 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
92hashgval 13317 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
108, 9eqeqan12d 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
117, 10syl5ib 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
126, 11impbid 202 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13 finnum 8972 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14 finnum 8972 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15 carden2 9011 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
1613, 14, 15syl2an 583 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
1712, 16bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  cres 5251  cfv 6029  (class class class)co 6791  ωcom 7210  reccrdg 7656  cen 8104  Fincfn 8107  cardccrd 8959  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139  chash 13314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-hash 13315
This theorem is referenced by:  hasheni  13333  hasheqf1o  13334  isfinite4  13348  hasheq0  13349  hashsng  13354  hashen1  13355  hashsdom  13365  hash1snb  13402  hashxplem  13415  hashmap  13417  hashpw  13418  hashbclem  13431  hash2pr  13446  pr2pwpr  13456  hash3tr  13467  isercolllem2  14597  isercoll  14599  summolem3  14646  summolem2a  14647  mertenslem1  14816  prodmolem3  14863  prodmolem2a  14864  bpolylem  14978  hashdvds  15680  crth  15683  phimullem  15684  eulerth  15688  4sqlem11  15859  lagsubg2  17856  orbsta2  17947  dfod2  18181  sylow1lem2  18214  sylow2alem2  18233  sylow2a  18234  slwhash  18239  sylow2  18241  sylow3lem1  18242  cyggenod  18486  lt6abl  18496  gsumval3lem1  18506  gsumval3lem2  18507  gsumval3  18508  ablfac1c  18671  ablfac1eu  18673  ablfaclem3  18687  fta1blem  24141  vieta1  24280  basellem5  25025  isppw  25054  clwlknon2num  27552  numclwlk1lem2  27554  derangen2  31487  subfacp1lem3  31495  subfacp1lem5  31497  erdsze2lem1  31516  erdsze2lem2  31517  poimirlem9  33744  poimirlem25  33760  poimirlem26  33761  poimirlem27  33762  poimirlem28  33763  eldioph2lem1  37842  frlmpwfi  38187  isnumbasgrplem3  38194  idomsubgmo  38295
  Copyright terms: Public domain W3C validator