Theorem hashen 14070

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6783	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)))
2		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	2	hashginv 14057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4	2	hashginv 14057	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) = (card‘𝐵))
5	3, 4	eqeqan12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
6	1, 5	syl5ib 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7		fveq2 6783	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
8	2	hashgval 14056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
9	2	hashgval 14056	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
10	8, 9	eqeqan12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
11	7, 10	syl5ib 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
12	6, 11	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13		finnum 9715	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14		finnum 9715	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15		carden2 9754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
17	12, 16	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  ^◡ccnv 5589  dom cdm 5590   ↾ cres 5592  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ωcom 7721  reccrdg 8249   ≈ cen 8739  Fincfn 8742  cardccrd 9702  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883  ♯chash 14053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-hash 14054

This theorem is referenced by:  hasheni  14071  hasheqf1o  14072  isfinite4  14086  hasheq0  14087  hashsng  14093  hashen1  14094  hashsdom  14105  hash1snb  14143  hashxplem  14157  hashmap  14159  hashpw  14160  hashbclem  14173  phphashd  14189  hash2pr  14192  pr2pwpr  14202  hash3tr  14213  isercolllem2  15386  isercoll  15388  summolem3  15435  mertenslem1  15605  prodmolem3  15652  bpolylem  15767  hashdvds  16485  crth  16488  phimullem  16489  eulerth  16493  4sqlem11  16665  lagsubg2  18826  dfod2  19180  sylow1lem2  19213  sylow2alem2  19232  slwhash  19238  sylow2  19240  sylow3lem1  19241  cyggenod  19493  lt6abl  19505  ablfac1c  19683  ablfac1eu  19685  ablfaclem3  19699  fta1blem  25342  vieta1  25481  isppw  26272  clwlknon2num  28741  numclwlk1lem2  28743  fisshasheq  33082  derangen2  33145  erdsze2lem1  33174  erdsze2lem2  33175  poimirlem9  35795  poimirlem25  35811  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem28  35814  eldioph2lem1  40589  frlmpwfi  40930  isnumbasgrplem3  40937  idomsubgmo  41030