Theorem hashen 14459

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)))
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	2	hashginv 14446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4	2	hashginv 14446	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) = (card‘𝐵))
5	3, 4	eqeqan12d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
6	1, 5	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7		fveq2 6873	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
8	2	hashgval 14445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
9	2	hashgval 14445	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
10	8, 9	eqeqan12d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
11	7, 10	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
12	6, 11	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13		finnum 10001	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14		finnum 10001	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15		carden2 10040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
17	12, 16	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860  reccrdg 8395   ≈ cen 8948  Fincfn 8951  cardccrd 9988  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175  ♯chash 14442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-hash 14443

This theorem is used by:  hasheni  14460  hasheqf1o  14461  isfinite4  14474  hasheq0  14475  hashsng  14481  hashen1  14482  hashsdom  14493  hashpss  14522  hash1snb  14532  hashxplem  14546  hashmap  14548  hashpw  14549  hashbclem  14565  phphashd  14579  hash2pr  14582  pr2pwpr  14592  hash3tr  14604  tpf1o  14614  s7f1o  15087  isercolllem2  15801  isercoll  15803  summolem3  15848  mertenslem1  16021  prodmolem3  16068  bpolylem  16182  hashdvds  16914  crth  16917  phimullem  16918  eulerth  16922  4sqlem11  17095  lagsubg2  19371  dfod2  19740  sylow1lem2  19775  sylow2alem2  19794  slwhash  19800  sylow2  19802  sylow3lem1  19803  cyggenod  20060  lt6abl  20071  ablfac1c  20249  ablfac1eu  20251  ablfaclem3  20265  fta1blem  26451  vieta1  26599  isppw  27405  clwlknon2num  30903  numclwlk1lem2  30905  fisshasheq  35824  derangen2  35860  erdsze2lem1  35889  erdsze2lem2  35890  poimirlem9  38467  poimirlem25  38483  poimirlem26  38484  poimirlem27  38485  poimirlem28  38486  eldioph2lem1  43709  frlmpwfi  44043  isnumbasgrplem3  44050  idomsubgmo  44138  gpg5grlic  49114