Theorem hashen 14382

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)))
2		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	2	hashginv 14369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4	2	hashginv 14369	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) = (card‘𝐵))
5	3, 4	eqeqan12d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(♯‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
6	1, 5	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
8	2	hashgval 14368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
9	2	hashgval 14368	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
10	8, 9	eqeqan12d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
11	7, 10	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
12	6, 11	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13		finnum 9985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14		finnum 9985	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15		carden2 10024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
17	12, 16	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  reccrdg 8447   ≈ cen 8980  Fincfn 8983  cardccrd 9972  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hasheni  14383  hasheqf1o  14384  isfinite4  14397  hasheq0  14398  hashsng  14404  hashen1  14405  hashsdom  14416  hash1snb  14454  hashxplem  14468  hashmap  14470  hashpw  14471  hashbclem  14487  phphashd  14501  hash2pr  14504  pr2pwpr  14514  hash3tr  14526  tpf1o  14536  s7f1o  15001  isercolllem2  15698  isercoll  15700  summolem3  15746  mertenslem1  15916  prodmolem3  15965  bpolylem  16080  hashdvds  16808  crth  16811  phimullem  16812  eulerth  16816  4sqlem11  16988  lagsubg2  19224  dfod2  19596  sylow1lem2  19631  sylow2alem2  19650  slwhash  19656  sylow2  19658  sylow3lem1  19659  cyggenod  19916  lt6abl  19927  ablfac1c  20105  ablfac1eu  20107  ablfaclem3  20121  fta1blem  26224  vieta1  26368  isppw  27171  clwlknon2num  30396  numclwlk1lem2  30398  fisshasheq  35098  derangen2  35158  erdsze2lem1  35187  erdsze2lem2  35188  poimirlem9  37615  poimirlem25  37631  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  poimirlem28  37634  eldioph2lem1  42747  frlmpwfi  43086  isnumbasgrplem3  43093  idomsubgmo  43181  gpg5grlic  47974