MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indcardi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem indcardi 10036
Description: Indirect strong induction on the cardinality of a finite or numerable set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
indcardi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
indcardi.b (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ dom card)
indcardi.c ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)) β†’ πœ“)
indcardi.d (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
indcardi.e (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
indcardi.f (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = 𝑆)
indcardi.g (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
indcardi (πœ‘ β†’ πœƒ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœƒ,π‘₯   𝑦,𝑅   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)   πœƒ(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem indcardi
StepHypRef Expression
1 indcardi.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ dom card)
2 domrefg 8983 . . 3 (𝑇 ∈ dom card β†’ 𝑇 β‰Ό 𝑇)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰Ό 𝑇)
4 indcardi.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 cardon 9939 . . . 4 (cardβ€˜π‘‡) ∈ On
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ On)
7 simpl1 1192 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ πœ‘)
8 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑅 β‰Ό 𝑇)
9 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 β‰Ί 𝑅)
10 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ πœ‘)
1110, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑇 ∈ dom card)
12 sdomdom 8976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑅)
13 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑅 β‰Ό 𝑇)
14 domtr 9003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 β‰Ό 𝑅 ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑇)
1512, 13, 14syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑇)
16 numdom 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝑆 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
1711, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
18 numdom 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ dom card)
1911, 13, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ dom card)
20 cardsdom2 9983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑅 ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) ↔ 𝑆 β‰Ί 𝑅))
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) ↔ 𝑆 β‰Ί 𝑅))
229, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ (cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…))
23 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)))
2423com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’)))
2522, 15, 24sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’))
2625ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’)))
2726com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))
2827alimdv 1920 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))
29283exp 1120 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))))
3029com34 91 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))))
31303imp1 1348 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’))
32 indcardi.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)) β†’ πœ“)
337, 8, 31, 32syl3anc 1372 . . . 4 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ πœ“)
3433ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“))
35 indcardi.f . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = 𝑆)
3635breq1d 5159 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 ↔ 𝑆 β‰Ό 𝑇))
37 indcardi.d . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
3836, 37imbi12d 345 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“) ↔ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)))
39 indcardi.g . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝑅 = 𝑇)
4039breq1d 5159 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 ↔ 𝑇 β‰Ό 𝑇))
41 indcardi.e . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
4240, 41imbi12d 345 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“) ↔ (𝑇 β‰Ό 𝑇 β†’ πœƒ)))
4335fveq2d 6896 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (cardβ€˜π‘…) = (cardβ€˜π‘†))
4439fveq2d 6896 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π‘…) = (cardβ€˜π‘‡))
454, 6, 34, 38, 42, 43, 44tfisi 7848 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 β‰Ό 𝑇 β†’ πœƒ))
463, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ πœƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9934
This theorem is referenced by:  uzindi  13947  symggen  19338
  Copyright terms: Public domain W3C validator