MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indcardi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem indcardi 10038
Description: Indirect strong induction on the cardinality of a finite or numerable set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
indcardi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
indcardi.b (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ dom card)
indcardi.c ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)) β†’ πœ“)
indcardi.d (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
indcardi.e (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
indcardi.f (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = 𝑆)
indcardi.g (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
indcardi (πœ‘ β†’ πœƒ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   πœ’,π‘₯   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœƒ,π‘₯   𝑦,𝑅   πœ“,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑦)   πœƒ(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem indcardi
StepHypRef Expression
1 indcardi.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ dom card)
2 domrefg 8985 . . 3 (𝑇 ∈ dom card β†’ 𝑇 β‰Ό 𝑇)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰Ό 𝑇)
4 indcardi.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 cardon 9941 . . . 4 (cardβ€˜π‘‡) ∈ On
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ On)
7 simpl1 1189 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ πœ‘)
8 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑅 β‰Ό 𝑇)
9 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 β‰Ί 𝑅)
10 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ πœ‘)
1110, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑇 ∈ dom card)
12 sdomdom 8978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑅)
13 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑅 β‰Ό 𝑇)
14 domtr 9005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 β‰Ό 𝑅 ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑇)
1512, 13, 14syl2an2 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 β‰Ό 𝑇)
16 numdom 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝑆 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
1711, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
18 numdom 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ dom card)
1911, 13, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ dom card)
20 cardsdom2 9985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑅 ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) ↔ 𝑆 β‰Ί 𝑅))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) ↔ 𝑆 β‰Ί 𝑅))
229, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ (cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…))
23 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)))
2423com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 ((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’)))
2522, 15, 24sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) ∧ 𝑆 β‰Ί 𝑅) β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’))
2625ex 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ πœ’)))
2726com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ (𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))
2827alimdv 1917 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))
29283exp 1117 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))))
3029com34 91 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)))))
31303imp1 1345 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’))
32 indcardi.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦(𝑆 β‰Ί 𝑅 β†’ πœ’)) β†’ πœ“)
337, 8, 31, 32syl3anc 1369 . . . 4 (((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) ∧ 𝑅 β‰Ό 𝑇) β†’ πœ“)
3433ex 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((cardβ€˜π‘…) ∈ On ∧ (cardβ€˜π‘…) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)) ∧ βˆ€π‘¦((cardβ€˜π‘†) ∈ (cardβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’))) β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“))
35 indcardi.f . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = 𝑆)
3635breq1d 5157 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 ↔ 𝑆 β‰Ό 𝑇))
37 indcardi.d . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
3836, 37imbi12d 343 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“) ↔ (𝑆 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ’)))
39 indcardi.g . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝑅 = 𝑇)
4039breq1d 5157 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑅 β‰Ό 𝑇 ↔ 𝑇 β‰Ό 𝑇))
41 indcardi.e . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
4240, 41imbi12d 343 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝑅 β‰Ό 𝑇 β†’ πœ“) ↔ (𝑇 β‰Ό 𝑇 β†’ πœƒ)))
4335fveq2d 6894 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (cardβ€˜π‘…) = (cardβ€˜π‘†))
4439fveq2d 6894 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π‘…) = (cardβ€˜π‘‡))
454, 6, 34, 38, 42, 43, 44tfisi 7850 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 β‰Ό 𝑇 β†’ πœƒ))
463, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ πœƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6363  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939   β‰Ί csdm 8940  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-card 9936
This theorem is referenced by:  uzindi  13951  symggen  19379
  Copyright terms: Public domain W3C validator