Theorem cardsdom 10438

Description: Two sets have the strict dominance relationship iff their cardinalities have the membership relationship. Corollary 19.7(2) of [Eisenberg] p. 310. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardsdom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem cardsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numth3 10353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)
2		numth3 10353	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ dom card)
3		cardsdom2 9873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6477   ≺ csdm 8863  cardccrd 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-ac2 10346

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-card 9824  df-ac 9999

This theorem is referenced by:  canth3  10444  inar1  10658