Theorem domtri2 9971

Description: Trichotomy of dominance for numerable sets (does not use AC). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domtri2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		cardon 9926	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		cardon 9926	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
4		ontri1 6392	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴))
6		cardsdom2 9970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	7	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
9	5, 8	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
10	1, 9	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  Oncon0 6357  ‘cfv 6533   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9921

This theorem is referenced by:  fidomtri  9975  harsdom  9977  infdif  10187  infdif2  10188  infunsdom1  10191  infunsdom  10192  infxp  10193  domtri  10536  canthp1lem2  10634  pwfseqlem4a  10642  pwfseqlem4  10643  gchaleph  10652  numinfctb  43715