Theorem domtri2 9904

Description: Trichotomy of dominance for numerable sets (does not use AC). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domtri2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		cardon 9859	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		cardon 9859	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
4		ontri1 6344	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴))
6		cardsdom2 9903	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	7	notbid 319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
9	5, 8	bitrid 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
10	1, 9	bitr3d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  Oncon0 6310  ‘cfv 6485   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-card 9854

This theorem is referenced by:  fidomtri  9908  harsdom  9910  infdif  10121  infdif2  10122  infunsdom1  10125  infunsdom  10126  infxp  10127  domtri  10469  canthp1lem2  10567  pwfseqlem4a  10575  pwfseqlem4  10576  gchaleph  10585  numinfctb  43548