Theorem domtri2 10022

Description: Trichotomy of dominance for numerable sets (does not use AC). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domtri2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 10010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		cardon 9977	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		cardon 9977	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
4		ontri1 6399	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴))
6		cardsdom2 10021	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	7	notbid 317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
9	5, 8	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
10	1, 9	bitr3d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  Oncon0 6365  ‘cfv 6543   ≼ cdom 8961   ≺ csdm 8962  cardccrd 9968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-card 9972

This theorem is referenced by:  fidomtri  10026  harsdom  10028  infdif  10240  infdif2  10241  infunsdom1  10244  infunsdom  10245  infxp  10246  domtri  10587  canthp1lem2  10684  pwfseqlem4a  10692  pwfseqlem4  10693  gchaleph  10702  numinfctb  42798