Theorem domtri2 9877

Description: Trichotomy of dominance for numerable sets (does not use AC). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domtri2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		cardon 9832	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		cardon 9832	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
4		ontri1 6335	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴))
6		cardsdom2 9876	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	7	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
9	5, 8	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
10	1, 9	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  Oncon0 6301  ‘cfv 6476   ≼ cdom 8862   ≺ csdm 8863  cardccrd 9823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-card 9827

This theorem is referenced by:  fidomtri  9881  harsdom  9883  infdif  10094  infdif2  10095  infunsdom1  10098  infunsdom  10099  infxp  10100  domtri  10442  canthp1lem2  10539  pwfseqlem4a  10547  pwfseqlem4  10548  gchaleph  10557  numinfctb  43136