Theorem domtri2 9971

Description: Trichotomy of dominance for numerable sets (does not use AC). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domtri2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		cardon 9926	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		cardon 9926	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
4		ontri1 6395	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴))
6		cardsdom2 9970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
8	7	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (¬ (card‘𝐵) ∈ (card‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
9	5, 8	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
10	1, 9	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  Oncon0 6360  ‘cfv 6536   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9921

This theorem is referenced by:  fidomtri  9975  harsdom  9977  infdif  10187  infdif2  10188  infunsdom1  10191  infunsdom  10192  infxp  10193  domtri  10535  canthp1lem2  10633  pwfseqlem4a  10641  pwfseqlem4  10642  gchaleph  10651  numinfctb  43830