MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsdomel 9215
Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomel ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel
StepHypRef Expression
1 cardnn 9188 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2 cardnn 9188 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3 eleq12 2855 . . 3 (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 586 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
5 nnon 7404 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6 onenon 9174 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8 nnon 7404 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9 onenon 9174 . . . 4 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11 cardsdom2 9213 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
127, 10, 11syl2an 586 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
134, 12bitr3d 273 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4930  dom cdm 5408  Oncon0 6031  cfv 6190  ωcom 7398  csdm 8307  cardccrd 9160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-om 7399  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-card 9164
This theorem is referenced by:  fin23lem27  9550
  Copyright terms: Public domain W3C validator