Theorem nnsdomel 9960

Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardnn 9933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2		cardnn 9933	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3		eleq12 2853	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		nnon 7852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6		onenon 9919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8		nnon 7852	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9		onenon 9919	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11		cardsdom2 9958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	7, 10, 11	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
13	4, 12	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  Oncon0 6346  ‘cfv 6521  ωcom 7846   ≺ csdm 8926  cardccrd 9905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9909

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10296