MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsdomel 9860
Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomel ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel
StepHypRef Expression
1 cardnn 9833 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2 cardnn 9833 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3 eleq12 2828 . . 3 (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
5 nnon 7799 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6 onenon 9819 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8 nnon 7799 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9 onenon 9819 . . . 4 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11 cardsdom2 9858 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
127, 10, 11syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
134, 12bitr3d 281 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  Oncon0 6314  cfv 6492  ωcom 7793  csdm 8816  cardccrd 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7794  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-card 9809
This theorem is referenced by:  fin23lem27  10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator