Theorem nnsdomel 9679

Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardnn 9652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2		cardnn 9652	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3		eleq12 2828	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		nnon 7693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6		onenon 9638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8		nnon 7693	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9		onenon 9638	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11		cardsdom2 9677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	7, 10, 11	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
13	4, 12	bitr3d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≺ csdm 8690  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10015