Theorem nnsdomel 9943

Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardnn 9916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2		cardnn 9916	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3		eleq12 2818	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		nnon 7848	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6		onenon 9902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8		nnon 7848	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9		onenon 9902	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11		cardsdom2 9941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	7, 10, 11	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
13	4, 12	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≺ csdm 8917  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10281