MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsdomel 9403
Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomel ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel
StepHypRef Expression
1 cardnn 9376 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2 cardnn 9376 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3 eleq12 2879 . . 3 (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
5 nnon 7566 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6 onenon 9362 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8 nnon 7566 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9 onenon 9362 . . . 4 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11 cardsdom2 9401 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
127, 10, 11syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
134, 12bitr3d 284 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Oncon0 6159  cfv 6324  ωcom 7560  csdm 8491  cardccrd 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352
This theorem is referenced by:  fin23lem27  9739
  Copyright terms: Public domain W3C validator