Theorem nnsdomel 10042

Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomel	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardnn 10015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2		cardnn 10015	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3		eleq12 2850	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		nnon 7866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6		onenon 10001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8		nnon 7866	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9		onenon 10001	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11		cardsdom2 10040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	7, 10, 11	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))
13	4, 12	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  ωcom 7860   ≺ csdm 8950  cardccrd 9987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991

This theorem is used by:  fin23lem27  10377