MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsdomel 10013
Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomel ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 β‰Ί 𝐡))

Proof of Theorem nnsdomel
StepHypRef Expression
1 cardnn 9986 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π΄) = 𝐴)
2 cardnn 9986 . . 3 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π΅) = 𝐡)
3 eleq12 2815 . . 3 (((cardβ€˜π΄) = 𝐴 ∧ (cardβ€˜π΅) = 𝐡) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∈ (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 ∈ 𝐡))
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∈ (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 ∈ 𝐡))
5 nnon 7874 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ On)
6 onenon 9972 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 ∈ dom card)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ dom card)
8 nnon 7874 . . . 4 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ 𝐡 ∈ On)
9 onenon 9972 . . . 4 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 ∈ dom card)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ 𝐡 ∈ dom card)
11 cardsdom2 10011 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐡 ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∈ (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ί 𝐡))
127, 10, 11syl2an 594 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∈ (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ί 𝐡))
134, 12bitr3d 280 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 β‰Ί 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7868   β‰Ί csdm 8961  cardccrd 9958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7869  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962
This theorem is referenced by:  fin23lem27  10351
  Copyright terms: Public domain W3C validator