Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemd8 37340
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l = (le‘𝐾)
cdlemd4.j = (join‘𝐾)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemd8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))

Proof of Theorem cdlemd8
StepHypRef Expression
1 simp3r 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
2 simp11 1199 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → 𝐹𝑇)
4 simp2 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdlemd4.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
7 cdlemd4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemd4.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemd4.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9ltrnideq 37310 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
112, 3, 4, 10syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
121, 11mpbird 259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1312fveq1d 6671 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑅) = (( I ↾ (Base‘𝐾))‘𝑅))
14 simp3l 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1514, 1eqtr3d 2858 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐺𝑃) = 𝑃)
16 simp12r 1283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → 𝐺𝑇)
175, 6, 7, 8, 9ltrnideq 37310 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐺𝑃) = 𝑃))
182, 16, 4, 17syl3anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐺𝑃) = 𝑃))
1915, 18mpbird 259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2019fveq1d 6671 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐺𝑅) = (( I ↾ (Base‘𝐾))‘𝑅))
2113, 20eqtr4d 2859 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065   I cid 5458  cres 5556  cfv 6354  Basecbs 16482  lecple 16571  joincjn 17553  Atomscatm 36398  HLchlt 36485  LHypclh 37119  LTrncltrn 37236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8407  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294
This theorem is referenced by:  cdlemd9  37341
  Copyright terms: Public domain W3C validator