Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ) = π) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β πΉ β π) |
4 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | cdlemd4.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemd4.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemd4.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemd4.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | ltrnideq 38641 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉ = ( I βΎ (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) = π)) |
11 | 2, 3, 4, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉ = ( I βΎ (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) = π)) |
12 | 1, 11 | mpbird 257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β πΉ = ( I βΎ (BaseβπΎ))) |
13 | 12 | fveq1d 6845 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ
) = (( I βΎ (BaseβπΎ))βπ
)) |
14 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
15 | 14, 1 | eqtr3d 2779 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΊβπ) = π) |
16 | | simp12r 1288 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β πΊ β π) |
17 | 5, 6, 7, 8, 9 | ltrnideq 38641 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ = ( I βΎ (BaseβπΎ)) β (πΊβπ) = π)) |
18 | 2, 16, 4, 17 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΊ = ( I βΎ (BaseβπΎ)) β (πΊβπ) = π)) |
19 | 15, 18 | mpbird 257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β πΊ = ( I βΎ (BaseβπΎ))) |
20 | 19 | fveq1d 6845 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΊβπ
) = (( I βΎ (BaseβπΎ))βπ
)) |
21 | 13, 20 | eqtr4d 2780 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |