Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemd9 39589
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cdlemd9
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
2 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simpl3 1190 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
4 simpr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
5 cdlemd4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemd4.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdlemd4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 cdlemd4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdlemd4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9cdlemd8 39588 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
111, 2, 3, 4, 10syl112anc 1371 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
12 simpl11 1245 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl2 1189 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
14 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
1514adantr 480 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
165, 7, 8, 9ltrnel 39522 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1712, 15, 13, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
18 simpr 484 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
1918necomd 2990 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
205, 6, 7, 8cdlemb2 39424 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
2112, 13, 17, 19, 20syl121anc 1372 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
22 simp1l1 1263 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
23 simp1l2 1264 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
24 simp2 1134 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
25 simp3l 1198 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)
2624, 25jca 511 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
27 simp1l3 1265 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
28 simp3r 1199 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
295, 6, 7, 8, 9cdlemd7 39587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
3022, 23, 26, 27, 28, 29syl122anc 1376 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
3130rexlimdv3a 3153 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…)))
3221, 31mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
3311, 32pm2.61dane 3023 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  lecple 17210  joincjn 18273  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  cdlemd  39590
  Copyright terms: Public domain W3C validator