Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) = π) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄)) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
4 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
5 | | cdlemd4.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemd4.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdlemd4.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemd4.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemd4.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | cdlemd8 38671 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = π)) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
11 | 1, 2, 3, 4, 10 | syl112anc 1375 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
12 | | simpl11 1249 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simpl2 1193 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β πΉ β π) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β πΉ β π) |
16 | 5, 7, 8, 9 | ltrnel 38605 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
17 | 12, 15, 13, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
18 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β (πΉβπ) β π) |
19 | 18 | necomd 3000 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β π β (πΉβπ)) |
20 | 5, 6, 7, 8 | cdlemb2 38507 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β§ π β (πΉβπ)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
21 | 12, 13, 17, 19, 20 | syl121anc 1376 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
22 | | simp1l1 1267 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄)) |
23 | | simp1l2 1268 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | simp2 1138 |
. . . . . 6
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β π β π΄) |
25 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β Β¬ π β€ π) |
26 | 24, 25 | jca 513 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
27 | | simp1l3 1269 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
28 | | simp3r 1203 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
29 | 5, 6, 7, 8, 9 | cdlemd7 38670 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
30 | 22, 23, 26, 27, 28, 29 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β§ π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
31 | 30 | rexlimdv3a 3157 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
))) |
32 | 21, 31 | mpd 15 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β§ (πΉβπ) β π) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |
33 | 11, 32 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ)) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |