Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnideq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnideq 36196
Description: Property of the identity lattice translation. (Contributed by NM, 27-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnnidn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnnidn.l = (le‘𝐾)
ltrnnidn.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnnidn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnnidn.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnideq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))

Proof of Theorem ltrnideq
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 6413 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑃))
3 simpl3l 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 ltrnnidn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 ltrnnidn.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35310 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
7 fvresi 6668 . . . . 5 (𝑃𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
83, 6, 73syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
92, 8eqtrd 2833 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
109ex 402 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑃) = 𝑃))
11 simpl1 1243 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpl2 1245 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
13 simpr 478 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14 simpl3 1247 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
15 ltrnnidn.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
16 ltrnnidn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 ltrnnidn.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
184, 15, 5, 16, 17ltrnnidn 36195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
1911, 12, 13, 14, 18syl121anc 1495 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
2019ex 402 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
2120necon4d 2995 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = 𝑃𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
2210, 21impbid 204 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843   I cid 5219  cres 5314  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180
This theorem is referenced by:  trlid0  36197  trlnidatb  36198  ltrn2ateq  36201  cdlemd8  36226  ltrniotaidvalN  36604  cdlemkid4  36955  dia2dimlem7  37091
  Copyright terms: Public domain W3C validator