Theorem ltrnideq 37305

Description: Property of the identity lattice translation. (Contributed by NM, 27-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnnidn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnnidn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnnidn.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnnidn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnnidn.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnideq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))

Proof of Theorem ltrnideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6666	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑃))
3		simpl3l 1224	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		ltrnnidn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		ltrnnidn.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 36419	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		fvresi 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
9	2, 8	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
10	9	ex 415	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
11		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simpl2 1188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
15		ltrnnidn.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		ltrnnidn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17		ltrnnidn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18	4, 15, 5, 16, 17	ltrnnidn 37304	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 18	syl121anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
20	19	ex 415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
21	20	necon4d 3040	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑃 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
22	10, 21	impbid 214	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058   I cid 5453   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  lecple 16566  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289

This theorem is referenced by:  trlid0  37306  trlnidatb  37307  ltrn2ateq  37310  cdlemd8  37335  ltrniotaidvalN  37713  cdlemkid4  38064  dia2dimlem7  38200