Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnideq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnideq 40158
Description: Property of the identity lattice translation. (Contributed by NM, 27-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnnidn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnnidn.l = (le‘𝐾)
ltrnnidn.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnnidn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnnidn.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnideq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))

Proof of Theorem ltrnideq
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 6909 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑃))
3 simpl3l 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 ltrnnidn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 ltrnnidn.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 39271 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
7 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑃𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
83, 6, 73syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑃) = 𝑃)
92, 8eqtrd 2775 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
109ex 412 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑃) = 𝑃))
11 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpl2 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
13 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14 simpl3 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
15 ltrnnidn.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
16 ltrnnidn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 ltrnnidn.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
184, 15, 5, 16, 17ltrnnidn 40157 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
1911, 12, 13, 14, 18syl121anc 1374 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
2019ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
2120necon4d 2962 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = 𝑃𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
2210, 21impbid 212 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  trlid0  40159  trlnidatb  40160  ltrn2ateq  40163  cdlemd8  40188  ltrniotaidvalN  40566  cdlemkid4  40917  dia2dimlem7  41053
  Copyright terms: Public domain W3C validator