Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnideq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnideq 38641
Description: Property of the identity lattice translation. (Contributed by NM, 27-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnnidn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ltrnnidn.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnnidn.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnnidn.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnnidn.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrnideq (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃))

Proof of Theorem ltrnideq
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
21fveq1d 6845 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ƒ))
3 simpl3l 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 ltrnnidn.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 ltrnnidn.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 37754 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
7 fvresi 7120 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ƒ) = 𝑃)
83, 6, 73syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ƒ) = 𝑃)
92, 8eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
109ex 414 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃))
11 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simpl2 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
13 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
14 simpl3 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
15 ltrnnidn.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 ltrnnidn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 ltrnnidn.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
184, 15, 5, 16, 17ltrnnidn 38640 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
1911, 12, 13, 14, 18syl121anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
2019ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
2120necon4d 2968 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)))
2210, 21impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  trlid0  38642  trlnidatb  38643  ltrn2ateq  38646  cdlemd8  38671  ltrniotaidvalN  39049  cdlemkid4  39400  dia2dimlem7  39536
  Copyright terms: Public domain W3C validator