Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemeda.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdlemeda.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdlemeda.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdlemeda.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdlemeda.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdlemeda.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | cdlemednpq 38808 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π· β€ (π β¨ π)) |
8 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
9 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
10 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
11 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
12 | | cdlemednu.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 12 | cdlemeulpq 38729 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | 8, 9, 10, 11, 13 | syl22anc 838 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
15 | | breq1 5109 |
. . . 4
β’ (π· = π β (π· β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
16 | 14, 15 | syl5ibrcom 247 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π· = π β π· β€ (π β¨ π))) |
17 | 16 | necon3bd 2954 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (Β¬ π· β€ (π β¨ π) β π· β π)) |
18 | 7, 17 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β π) |