Theorem dihintcl 40681

Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihintcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihintcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihintcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihintcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihfn 40605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
5	1, 2, 3	dihdm 40606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
6	5	fneq2d 6643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
7	4, 6	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		cnvimass 6080	. . . . 5 ⊢ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼
10		fnssres 6673	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
11	8, 9, 10	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
12		fniinfv 6969	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
14		df-ima 5689	. . . . 5 ⊢ (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16		dffn4 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19		foimacnv 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
21	14, 20	eqtr3id 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
22	21	inteqd 4955	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
23	13, 22	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑆)
24		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
26	9, 25	sseqtrid 4034	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28		n0 4346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
29	27, 28	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
30	18	sselda 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
31	25	fneq2d 6643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
32	15, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fvelrnb 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
36	30, 35	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦)
37		fnfun 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39		fvimacnv 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
40	38, 39	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
41		ne0i 4334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
42	40, 41	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
43	42	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
44		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
45	44	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
46	45	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
47	43, 46	syl9 77	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
49	48	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
50	49	rexlimdv 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
51	36, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
52	29, 51	exlimddv 1937	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
53		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
54	1, 53, 2, 3	dihglb 40678	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
55	24, 26, 52, 54	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
56		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = (𝐼‘𝑦))
57	56	iineq2i 5019	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦)
58	55, 57	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦))
59		hlclat 38694	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
60	59	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
61	1, 53	clatglbcl 18468	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	60, 26, 61	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dihcl 40607	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
64	62, 63	syldan 590	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
65	58, 64	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
66	23, 65	eqeltrrd 2833	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∩ cint 4950  ∩ ciin 4998  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  glbcglb 18273  CLatccla 18461  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DIsoHcdih 40565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566

This theorem is referenced by:  doch2val2  40701  dochocss  40703