Theorem dihintcl 41969

Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihintcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihintcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihintcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihintcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihfn 41893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
5	1, 2, 3	dihdm 41894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
6	5	fneq2d 6616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
7	4, 6	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		cnvimass 6072	. . . . 5 ⊢ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼
10		fnssres 6645	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
11	8, 9, 10	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
12		fniinfv 6946	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
14		df-ima 5661	. . . . 5 ⊢ (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))
15	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16		dffn4 6785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
17	15, 16	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19		foimacnv 6825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
21	14, 20	eqtr3id 2812	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
22	21	inteqd 4911	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
23	13, 22	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑆)
24		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
26	9, 25	sseqtrid 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28		n0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
29	27, 28	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
30	18	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
31	25	fneq2d 6616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
32	15, 31	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fvelrnb 6928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
36	30, 35	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦)
37		fnfun 6622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39		fvimacnv 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
40	38, 39	sylan 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
41		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
42	40, 41	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
43	42	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
44		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
45	44	biimprd 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
46	45	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
47	43, 46	syl9 77	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
49	48	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
50	49	rexlimdv 3162	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
51	36, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
52	29, 51	exlimddv 1956	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
53		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
54	1, 53, 2, 3	dihglb 41966	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
55	24, 26, 52, 54	syl12anc 847	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
56		fvres 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = (𝐼‘𝑦))
57	56	iineq2i 4973	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦)
58	55, 57	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦))
59		hlclat 39983	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
60	59	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
61	1, 53	clatglbcl 18538	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	60, 26, 61	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dihcl 41895	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
64	62, 63	syldan 600	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
65	58, 64	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
66	23, 65	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ cint 4906  ∩ ciin 4951  ^◡ccnv 5647  dom cdm 5648  ran crn 5649   ↾ cres 5650   “ cima 5651  Fun wfun 6516   Fn wfn 6517  –onto→wfo 6520  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  glbcglb 18343  CLatccla 18531  HLchlt 39975  LHypclh 40609  DIsoHcdih 41853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 39578

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-0g 17471  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-p1 18457  df-lat 18465  df-clat 18532  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cntz 19358  df-lsm 19677  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lvec 21171  df-lsatoms 39601  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-llines 40123  df-lplanes 40124  df-lvols 40125  df-lines 40126  df-psubsp 40128  df-pmap 40129  df-padd 40421  df-lhyp 40613  df-laut 40614  df-ldil 40729  df-ltrn 40730  df-trl 40784  df-tendo 41380  df-edring 41382  df-disoa 41654  df-dvech 41704  df-dib 41764  df-dic 41798  df-dih 41854

This theorem is referenced by:  doch2val2  41989  dochocss  41991