Theorem dihintcl 38640

Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihintcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihintcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihintcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihintcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihfn 38564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
5	1, 2, 3	dihdm 38565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
6	5	fneq2d 6417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
7	4, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		cnvimass 5916	. . . . 5 ⊢ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼
10		fnssres 6442	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
11	8, 9, 10	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
12		fniinfv 6717	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
14		df-ima 5532	. . . . 5 ⊢ (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))
15	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16		dffn4 6571	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
17	15, 16	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19		foimacnv 6607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
21	14, 20	syl5eqr 2847	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
22	21	inteqd 4843	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
23	13, 22	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑆)
24		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
26	9, 25	sseqtrid 3967	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28		n0 4260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
29	27, 28	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
30	18	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
31	25	fneq2d 6417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
32	15, 31	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fvelrnb 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
36	30, 35	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦)
37		fnfun 6423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39		fvimacnv 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
40	38, 39	sylan 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
41		ne0i 4250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
42	40, 41	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
43	42	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
44		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
45	44	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
46	45	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
47	43, 46	syl9 77	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
49	48	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
50	49	rexlimdv 3242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
51	36, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
52	29, 51	exlimddv 1936	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
53		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
54	1, 53, 2, 3	dihglb 38637	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
55	24, 26, 52, 54	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
56		fvres 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = (𝐼‘𝑦))
57	56	iineq2i 4903	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦)
58	55, 57	eqtr4di 2851	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦))
59		hlclat 36654	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
60	59	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
61	1, 53	clatglbcl 17716	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	60, 26, 61	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dihcl 38566	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
64	62, 63	syldan 594	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
65	58, 64	eqeltrrd 2891	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
66	23, 65	eqeltrrd 2891	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∩ cint 4838  ∩ ciin 4882  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  –onto→wfo 6322  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  glbcglb 17545  CLatccla 17709  HLchlt 36646  LHypclh 37280  DIsoHcdih 38524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525

This theorem is referenced by:  doch2val2  38660  dochocss  38662