Theorem dihintcl 39807

Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihintcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihintcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihintcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihintcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihfn 39731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
5	1, 2, 3	dihdm 39732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
6	5	fneq2d 6596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
7	4, 6	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		cnvimass 6033	. . . . 5 ⊢ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼
10		fnssres 6624	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
12		fniinfv 6919	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
14		df-ima 5646	. . . . 5 ⊢ (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))
15	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16		dffn4 6762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19		foimacnv 6801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
21	14, 20	eqtr3id 2790	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
22	21	inteqd 4912	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
23	13, 22	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑆)
24		simpl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
26	9, 25	sseqtrid 3996	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28		n0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
29	27, 28	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
30	18	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
31	25	fneq2d 6596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
32	15, 31	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fvelrnb 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
36	30, 35	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦)
37		fnfun 6602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39		fvimacnv 7003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
40	38, 39	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
41		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
42	40, 41	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
43	42	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
44		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
45	44	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
46	45	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
47	43, 46	syl9 77	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
49	48	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
50	49	rexlimdv 3150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
51	36, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
52	29, 51	exlimddv 1938	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
53		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
54	1, 53, 2, 3	dihglb 39804	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
55	24, 26, 52, 54	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
56		fvres 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = (𝐼‘𝑦))
57	56	iineq2i 4976	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦)
58	55, 57	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦))
59		hlclat 37820	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
60	59	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
61	1, 53	clatglbcl 18394	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	60, 26, 61	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dihcl 39733	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
64	62, 63	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
65	58, 64	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
66	23, 65	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ∩ cint 4907  ∩ ciin 4955  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635   “ cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  –onto→wfo 6494  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  glbcglb 18199  CLatccla 18387  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DIsoHcdih 39691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692

This theorem is referenced by:  doch2val2  39827  dochocss  39829