Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochval2 40527
Description: Subspace orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval2.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
dochval2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochval2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochval2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochval2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochval2.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochval2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧}))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧)   𝑁(𝑧)   βŠ₯ (𝑧)

Proof of Theorem dochval2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2731 . . 3 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
3 dochval2.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
4 dochval2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dochval2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dochval2.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dochval2.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
8 dochval2.n . . 3 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochval 40526 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))))
10 hlclat 38532 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
1110ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
12 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
131, 2clatglbcl 18463 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1411, 12, 13sylancl 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
151, 4, 5dihcnvid1 40447 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))
1614, 15syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))
171, 2, 4, 5, 6, 7dihglb2 40517 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧})
1817fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))) = (β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧}))
1916, 18eqtr3d 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}) = (β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧}))
2019fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧})))
2120fveq2d 6895 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}))) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧}))))
229, 21eqtrd 2771 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 βŠ† 𝑧}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   βŠ† wss 3948  βˆ© cint 4950  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  occoc 17210  glbcglb 18268  CLatccla 18456  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  DIsoHcdih 40403  ocHcoch 40522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523
This theorem is referenced by:  doch2val2  40539  dochocss  40541
  Copyright terms: Public domain W3C validator